Устойчивость динамической системы с сигмоидой

[Grabovskiy]

Здравствуйте. Вопрос мой вкратце звучит так: не упускаю ли я что-нибудь очевидное?

Имеется динамическая система вида
$x_i (k+1) = \frac{1}{1 + e^{-\lambda \sum_{i=1}^n a_{ij} x_j(k)}}$
которую я вкратце обозначу так:
$x(k+1) = f(A^Tx(k)),$
где
$f(x_1,\ldots, x_n) = (\frac{1}{1+e^{-\lambda x_1}},\ldots,\frac{1}{1+e^{-\lambda x_n}})^T$
Интересует, при каких условиях на $\lambda$ и на матрицу $A$ для любого начального вектора $x(0) \in [-1,1]\times \ldots \times [-1,1]$ существует предел $\lim\limits_{k\rightarrow \infty} x(k)$.

Я получил такое достаточное условие (добившись, чтобы $f(A^T (\cdot))$ было сжатием:
$\lambda_{\max} < \frac{2}{\lambda}$,
где $\lambda_{\max}$ -- максимальное собственное число матрицы $A$.

Но дело вот в чем: я пробовал симулировать такие системы на матлабе, и у меня ни разу не получилось сделать такую систему устойчивой (существование предела для любых начальных значений из куба $[-1,1]\times\ldots\times[-1,1]$). Может, она устойчива при любых $\lambda$ и $A$, и это из каких-то соображений очевидно? Например, это очевидно в одномерном случае.

[Brukvalub]

Как же так! Сначала вы пишете:

Grabovskiy в сообщении #1213776 писал(а):

Но дело вот в чем: я пробовал симулировать такие системы на матлабе, и у меня ни разу не получилось сделать такую систему устойчивой

а потом:

Grabovskiy в сообщении #1213776 писал(а):

Может, она устойчива при любых $\lambda$ и $A$, и это из каких-то соображений очевидно?

Первое противоречит второму, или где?

[Grabovskiy]

Brukvalub

Ой, извините, опечатка

ни разу не получилось сделать её неустойчивой


Хочется понять, может ли она хоть когда-нибудь оказаться неустойчивой

[dsge]

Поскольку экспонента всегда положительна, то, очевидно, что система будет болтаться где-то между нулем и единицей для всех координат (знаменатель всегда больше единицы).

[Grabovskiy]

dsge в сообщении #1213838 писал(а):

Поскольку экспонента всегда положительна, то, очевидно, что система будет болтаться где-то между нулем и единицей для всех координат (знаменатель всегда больше единицы).

Да, последовательность $\{x(k)\}_k$ ограничена, но может ли такая последовательность содержать несколько предельных точек?

[dsge]

Какие подпоследовательности содержит ограниченная последовательность в компактных пространствах?

[Grabovskiy]

dsge

Наверное, Вы меня не поняли. Я знаю, что последовательность в компактном пространстве содержит сходящуюся подпоследовательность, но меня интересует:

Может ли последовательность $\{x_k\}$, которая определена как $x_{k+1} = f(A^T x_k)$ с начальным условием $x_0 \in [-1,1]\times\ldots\times[-1,1]$ ($f$ определена в первом посте) содержать не одну, а несколько различных предельных точек? Я нашел достаточное условие того, чтобы такая последовательность содержала только одну предельную точку, но при прогонке такой системы с различными матрицами на матлабе я не нашел ни одной системы, у которой было бы несколько предельных точек (генерировал случайным образом).

(Оффтоп)

Такие последовательности рассматриваются в нечетких когнитивных картах, в которых функции активации -- это сигмоиды. Люди пишут, что могут существовать limit cycles и вообще chaotic behaviour, но я пересмотрел много статей -- и никто ни разу не привел примера такой системы. Может, врут?

[DeBill]

Grabovskiy
В одномерном случае, при положительном $\lambda $ и $A=1$, устойчивость есть всегда:
производная функции $f(x) = \frac{1}{1+e^{-\lambda x}}$ в неподвижной точке $x=f(x)$ равна $\frac{\lambda e^{-\lambda x}}{(1+e^{-\lambda x})^2} = \lambda x \cdot \frac{e^{-\lambda x}}{1+e^{-\lambda x}} =\frac{t}{e^t +1} < 1$ (ну, по честному, отсюда надо извлечь единственность неподвижной точки, и т.д.)
Однако, при отрицательном $\lambda$ (или $A=-1$) - устойчивость теряется:
приравняв производную к $-1$, как выше, придем к уравнению типа $e^t+t+1=0$, имеющему таки отрицательное решение (которое, увы, придется искать численно). Тада из $x=f(x)$ по $t=\lambda x$ найдем $x$, а затем и то критическое значение $\lambda$

[dsge]

Если $f(A^T (\cdot))$ сжатие, то всегда будет только единственная предельная точка. Если нет, то необязательно, например рассмотрите одномерный случай с $\lambda=-10$ и $a=1$.

[DeBill]

Так что, при переходе через критическое значение, неподвижная точка потеряет устойчивость, и породит устойчивый цикл периода 2. Далее, видимо, будет иметь место классический сценарий "удвоения циклов". Но, по моему мнению, до хаоса (в духе Фейгенбаума) дело не дойдет, ибо монотонность $f$ есть...

[Grabovskiy]

DeBill

Спасибо, разобрался, в одномерном случае все-таки можно найти пример.

[DeBill]

Grabovskiy
В двумерном случае, для матрицы с элементами $0,1,2,0$, видимо, будет цикл (квадрат Вашего отображения распадается на пару одномерных отображений, с различными неподвижными. Это даст "скакание" двумерного отображения...)