Задача Коши для уравнения в частных производных

[agapov]

Вот линейное уравнение в ЧП. $\frac{\partial z}{\partial x}+(e^x-xy)\frac{\partial z}{\partial y}=0$. Нужно решить задачу Коши.
Условия: $z=x^2+y^2$ при $x=0$.
Вроде бы нужно найти общее решение сначала?
Привел его к виду $y'+xy=e^x$
Общее решение однородного ДУ: $y=Ce^{-\frac{x^2}{2}}$.
Далее методом вариации постоянной нашел $\frac{\partial C}{\partial x}=e^{\frac{x^2}{2}+x}$
И как найти $C=\int{e^{\frac{x^2}{2}+x } dx}$ ?

Можно ли при решении задачи Коши с данными условиями обойтись без решения этого интеграла?

[Metford]

Если у Вас $z$ - функция $x$ и $y$, то почему производные "прямые"? А с частными производными так обращаться нельзя. Характеристики искать нужно.

[agapov]

это я так некорректно частные производные нарисовал. А уравнение для характеристик как раз и привелось к $y'+xy=e^x$ ..

[Metford]

Да, извините, невнимательно посмотрел.

(Оффтоп)

На всякий случай: частная производная $\frac{\partial z}{\partial x}$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Часть постов технического характера удалена.

[Metford]

Пока тема проходила чистку и глажку, посмотрел ещё раз на уравнение. Возникает впечатление, что уравнение для характеристики приведёт к интегралу вероятности (он же функция ошибок) - и ничего особенного с ним уже не сделать. Да и дополнительное условие странно смотрится при этом.

[Aritaborian]

agapov в сообщении #1213211 писал(а):

И как найти $C=\int{e^{\frac{x^2}{2}+x } dx}$ ?

Вы же сами знаете, что в некотором смысле никак. Ну то есть оно

Metford в сообщении #1213233 писал(а):

приведёт к интегралу вероятности (он же функция ошибок) - и ничего особенного с ним уже не сделать

[agapov]

Вот так у нас сочиняют задачи для студентов - на скорую руку)

-- 30.04.2017, 00:57 --

То есть, нужно оставить интеграл как есть и продолжить решение, используя условия? Условия к сожалению в точности списал с задания(

[Aritaborian]

agapov в сообщении #1213235 писал(а):

То есть, нужно оставить интеграл как есть и продолжить решение, используя условия?

Можно поиграть в игру «найди предполагаемую опечатку в условии и измени условие так, чтобы решение стало красивым» ;-)

[Metford]

Похожая, но чуть другая задача есть у Филиппова в задачнике. Это так, к слову. Как появление или исчезновение одной буковки влияет на результат...
Что касается дополнительного условия, то использовать его - это будет отдельная головная боль. Я бы уточнил у преподавателя, если есть такая возможность, точно ли такая штука предполагалась.

-- 30.04.2017, 01:03 --

Aritaborian в сообщении #1213236 писал(а):

Можно поиграть в игру «найди предполагаемую опечатку в условии и измени условие так, чтобы решение стало красивым»

Ну, или так

[Lia]

Вроде так: $\frac{\partial z}{\partial x}+(e^x-y)\frac{\partial z}{\partial y}=0$ решается. Ну и начальное условие отредактировать до цензурного состояния, конечно.
(Фантазировать, правда, можно много и долго ))

В принципе, решается и без поправки в уравнении. Функция ошибки вылезет, конечно, все равно. Ну и прочие прелести. Но что точно нуждается в уточнении - так это начальное условие. В таком виде его не носят, это явная опечатка или недосмотр. Корректировать на свое усмотрение (логически) можно, гадая при этом, то ли имелось в виду.

[agapov]

да, эта решается. А что делать с первоначальной? Если интеграл останется невычисленным, то можно как-то использовать доп. условия?

-- 30.04.2017, 01:42 --

буду уточнять...

[Red_Herring]

agapov в сообщении #1213240 писал(а):

Если интеграл останется невычисленным, т

Ну почему невычисленным? Он сводится как указали к $\operatorname{erf}$. Ну неэлементарная эта функция, ну и что?

Если говорить об уравнении теплопроводности, которое Вам придется изучить, то эта функция будет поминаться на каждом шагу, и решения, включающие в себя эту функцию, будут вполне допустимыми.

[Vince Diesel]

agapov в сообщении #1213211 писал(а):

Условия: $z=x^2+y^2$ при $x=0$.

Почему не просто $z=y^2$ при $x=0$?