2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача Коши для уравнения в частных производных
Сообщение29.04.2017, 23:31 


26/04/16
21
Вот линейное уравнение в ЧП. $\frac{\partial z}{\partial x}+(e^x-xy)\frac{\partial z}{\partial y}=0$. Нужно решить задачу Коши.
Условия: $z=x^2+y^2$ при $x=0$.
Вроде бы нужно найти общее решение сначала?
Привел его к виду $y'+xy=e^x$
Общее решение однородного ДУ: $y=Ce^{-\frac{x^2}{2}}$.
Далее методом вариации постоянной нашел $\frac{\partial C}{\partial x}=e^{\frac{x^2}{2}+x}$
И как найти $C=\int{e^{\frac{x^2}{2}+x } dx}$ ?

Можно ли при решении задачи Коши с данными условиями обойтись без решения этого интеграла?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Коши для уравнения в частных производных
Сообщение29.04.2017, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Если у Вас $z$ - функция $x$ и $y$, то почему производные "прямые"? А с частными производными так обращаться нельзя. Характеристики искать нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Коши для уравнения в частных производных
Сообщение29.04.2017, 23:41 


26/04/16
21
это я так некорректно частные производные нарисовал. А уравнение для характеристик как раз и привелось к $y'+xy=e^x$ ..

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Коши для уравнения в частных производных
Сообщение29.04.2017, 23:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Да, извините, невнимательно посмотрел.

(Оффтоп)

На всякий случай: частная производная $\frac{\partial z}{\partial x}$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение29.04.2017, 23:59 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение30.04.2017, 00:40 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Часть постов технического характера удалена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Коши для уравнения в частных производных
Сообщение30.04.2017, 00:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Пока тема проходила чистку и глажку, посмотрел ещё раз на уравнение. Возникает впечатление, что уравнение для характеристики приведёт к интегралу вероятности (он же функция ошибок) - и ничего особенного с ним уже не сделать. Да и дополнительное условие странно смотрится при этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Коши для уравнения в частных производных
Сообщение30.04.2017, 00:50 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
agapov в сообщении #1213211 писал(а):
И как найти $C=\int{e^{\frac{x^2}{2}+x } dx}$ ?
Вы же сами знаете, что в некотором смысле никак. Ну то есть оно
Metford в сообщении #1213233 писал(а):
приведёт к интегралу вероятности (он же функция ошибок) - и ничего особенного с ним уже не сделать

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Коши для уравнения в частных производных
Сообщение30.04.2017, 00:54 


26/04/16
21
Вот так у нас сочиняют задачи для студентов - на скорую руку)

-- 30.04.2017, 00:57 --

То есть, нужно оставить интеграл как есть и продолжить решение, используя условия? Условия к сожалению в точности списал с задания(

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Коши для уравнения в частных производных
Сообщение30.04.2017, 01:02 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
agapov в сообщении #1213235 писал(а):
То есть, нужно оставить интеграл как есть и продолжить решение, используя условия?
Можно поиграть в игру «найди предполагаемую опечатку в условии и измени условие так, чтобы решение стало красивым» ;-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Коши для уравнения в частных производных
Сообщение30.04.2017, 01:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Похожая, но чуть другая задача есть у Филиппова в задачнике. Это так, к слову. Как появление или исчезновение одной буковки влияет на результат...
Что касается дополнительного условия, то использовать его - это будет отдельная головная боль. Я бы уточнил у преподавателя, если есть такая возможность, точно ли такая штука предполагалась.

-- 30.04.2017, 01:03 --

Aritaborian в сообщении #1213236 писал(а):
Можно поиграть в игру «найди предполагаемую опечатку в условии и измени условие так, чтобы решение стало красивым» ;-)

Ну, или так :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Коши для уравнения в частных производных
Сообщение30.04.2017, 01:14 


20/03/14
12041
Вроде так: $\frac{\partial z}{\partial x}+(e^x-y)\frac{\partial z}{\partial y}=0$ решается. Ну и начальное условие отредактировать до цензурного состояния, конечно.
(Фантазировать, правда, можно много и долго ))

В принципе, решается и без поправки в уравнении. Функция ошибки вылезет, конечно, все равно. Ну и прочие прелести. Но что точно нуждается в уточнении - так это начальное условие. В таком виде его не носят, это явная опечатка или недосмотр. Корректировать на свое усмотрение (логически) можно, гадая при этом, то ли имелось в виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Коши для уравнения в частных производных
Сообщение30.04.2017, 01:40 


26/04/16
21
да, эта решается. А что делать с первоначальной? Если интеграл останется невычисленным, то можно как-то использовать доп. условия?

-- 30.04.2017, 01:42 --

буду уточнять...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Коши для уравнения в частных производных
Сообщение30.04.2017, 02:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
agapov в сообщении #1213240 писал(а):
Если интеграл останется невычисленным, т

Ну почему невычисленным? Он сводится как указали к $\operatorname{erf}$. Ну неэлементарная эта функция, ну и что?

Если говорить об уравнении теплопроводности, которое Вам придется изучить, то эта функция будет поминаться на каждом шагу, и решения, включающие в себя эту функцию, будут вполне допустимыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Коши для уравнения в частных производных
Сообщение30.04.2017, 08:29 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
agapov в сообщении #1213211 писал(а):
Условия: $z=x^2+y^2$ при $x=0$.

Почему не просто $z=y^2$ при $x=0$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group