Нулевая кин. энергия неподвижной рел. частицы.

[misha.physics]

Здравствуйте, возникло такое недопонимание.
В релятивистской динамике приращение кинетической энергии частицы приводит к $dT=c^2dm$, где $m$ - масса движения. После интегрирования получаем $T=c^2m+const$. Теперь, когда частица неподвижна $v=0$, имеем $m=m_0$. Но чтобы получить $T=(m-m_0)c^2$, надо сказать что $T(v=0)=0$. И проблема в том что я не могу это доказать. Мне кажеться что для этого нужно использовать ещё что-то, иначе хожу по кругу. Или это не доказывается, а просто принимается?
Ещё раз сформулирую суть вопроса: как доказать что кинетическая энергия неподвижной частицы равна нулю?

[DimaM]

misha.physics в сообщении #1212828 писал(а):

В релятивистской динамике приращение кинетической энергии частицы приводит к $dT=c^2dm$, где $m$ - масса движения.

Нет такого. Правильно $dT=mc^2d\gamma$.

misha.physics в сообщении #1212828 писал(а):

Ещё раз сформулирую суть вопроса: как доказать что кинетическая энергия неподвижной частицы равна нулю?

Кинетическая энергия $T=E-E_0=E-mc^2$, для неподвижной частицы равна нулю по определению.

[misha.physics]

DimaM, спасибо за ответ. Просто в моих обозначениях $m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$, где $m_0$ - масса покоя. Поэтому я записал $dT=c^2dm$.
Ваша последняя формула проясняет для меня мой вопрос. Спасибо.

[Erleker]

Странно.Вы хотите, руководствуясь приращением, вывести исходную формулу?В чем смысл этого?Ну а вообще да, придется тогда принять, что она равна нулю при отсутствии скорости.

(Оффтоп)

Сейчас, наверное, начнется извечная тема про понятие релятивистской массы...Зря вы ее используете.

[misha.physics]

Erleker, в книге Иродова из приращений виводится формула $T=(m-m_0)c^2$. Я просто повторял выкладки, но там не обьяснили почему $T(v=0)=0$, вот я и задумался.

А формула $T=E-m_0c^2$ это определение или следует из $T=(m-m_0)c^2$, если принять что полная энергия равна $E=mc^2$? Вообще в этой теории меня запутывает что у нас было вначале, что определение, а что является следствием.

(Оффтоп)

А мне что-то неизвестно о той теме о релятивистской массе. Даже не знаю как её можно не использовать :)

[Metford]

misha.physics
Вот что точно по определению - это то, что кинетическая энергия - разность энергии $\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ и энергии покоя $mc^2$. Определяют так, потому что в нерелятивистском пределе это выражение переходит в старое-доброе $mv^2/2$.

Что касается "релятивистской массы"... В общем... её нет уже давно. Есть статья Окуня в УФН - это уже стало канонической ссылкой. Очень рекомендуется к прочтению. УФН, 158, 3 (1989).

[Erleker]

misha.physics
Глянул этого Иродова.Не очень грамотный и точно не современный подход.Я бы ко многому придрался.С такой литературой вы и вправду запутаетесь в определениях и следствиях.
Лучше вам читать про механику СТО ЛЛ2 , если знаний хватает.
Но в системе понятий Иродова- сначала "выгадывается" импульс, потом сила и далее через ее работу определяется кинетическая энергия.И тогда да, просто говорим, что принимаем ее равной нулю для покоящегося тела.

[misha.physics]

Metford, спасибо за статью, обязательно прочту.
Erleker, да, я решил почитать про рел. динамику в Иродова, потому что понравилось как у него описана рел. кинематика, и особенно задачи, которые много проясняют, но рел. динамика действительно немного запутывает, но для разнообразия, думаю, можно (и даже полезно) читать разные подходи к формулированию теории, чтобы посмотреть на проблему с разных сторон. Спасибо.

[Erleker]

misha.physics в сообщении #1212932 писал(а):

можно (и даже полезно) читать разные подходи к формулированию теории, чтобы посмотреть на проблему с разных сторон. Спасибо.

Если вы только начинаете изучать СТО, то читать подобное не очень хорошо.Если к кинематике и правда можно для разнообразия "подойти" с любой стороны, то, чтобы у вас сложилось адекватное представление о динамике, лучше читать только проверенные источники.
Судя по вашим

(высказываниям)

misha.physics в сообщении #1212932 писал(а):

Даже не знаю как её можно не использовать :)

misha.physics в сообщении #1212932 писал(а):

А формула $T=E-m_0c^2$ это определение или следует из $T=(m-m_0)c^2$, если принять что полная энергия равна $E=mc^2$? Вообще в этой теории меня запутывает что у нас было вначале, что определение, а что является следствием.

, настоятельно рекомендую сменить учебную литературу.

[misha.physics]

Erleker, да ближайшем временем посмотрю динамику в ЛЛ2.

Меня ещё заинтересовало такое (не о энергии а о силе, но решил не создавать отдельную тему из-за специфики вопроса)
Имеем $\frac{d}{dt}(\frac{m_0\vec{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}})=\vec{F}$. Правильно ли я понимаю, что $\vec{F}$ - это векторная сумма всех сил действующих на частицу, и эти силы могут зависеть от времени и от точки в пространстве? Далее рассматриваються случаи продольной $\vec{F}||\vec{v}$ и поперечной $\vec{F}\perp\vec{v}$ силы. Эти условия должны виполнятся всегда, то есть на всем протяжении времени (которое нас интересует) движения частицы? Но ведь частица реагирует на силу не мгновенно, значит ли это что эти условия надо понимать в смысле с запаздыванием (по-моему, это я бред написал)? Или эти условия должны выполняться в один и тот же момент времени для силы и скорости? Далее у меня получается что в первом случае сила не должна менятся по направлению. А во втором - что она обязательно должна менятся по направлению, потому что ортогональная сила изменяет траекторию частицы, и вектор силы должен всегда "поворачиваться" чтобы выполнялось второе условие. Но опять же, сила действует не мгновенно... Эти мои предположения базируються на "мысленном експерименте", и кажутся неубедительными. Хочется разобратся в этом с помощью математики, формально. Может где-то это обьясняется? А то меня поражает что я не понимаю таких вещей.

И ещё, если у нас частица изначально покоится, потом мы "включаем" постоянный вектор силы, как доказать что $\vec{F}\uparrow\uparrow \vec{v}$ на всем протяжении движения?

[Metford]

misha.physics в сообщении #1213050 писал(а):

Имеем $\frac{d}{dt}(\frac{m_0\vec{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}})=\vec{F}$

Это аналог обычного второго закона Ньютона. И воспринимать в нём всё нужно, как обычно.
Далее, когда учитывается запаздывание, то это обычно прописывается явно. Такие вещи сплошь и рядом встречаются в классической теории поля. Один из самых типичных примеров - потенциалы поля движущегося заряда - т.н. потенциалы Лиенара-Вихерта. Можете посмотреть на них, чтобы увидеть, как вводится запаздывание.

misha.physics в сообщении #1213050 писал(а):

Хочется разобратся в этом с помощью математики, формально. Может где-то это обьясняется?

Я обычно советую книгу В.А. Угарова "Специальная теория относительности". Там вопросам релятивистской динамики посвящена вся пятая глава. Написано вполне понятно и корректно. Без релятивистской массы, кстати, и с объяснением, почему она не нужна.

[arseniiv]

(Начал писать до того, как увидел предыдущий ответ. Может, будет дополнением.)

misha.physics в сообщении #1213050 писал(а):

Далее рассматриваються случаи продольной $\vec{F}||\vec{v}$ и поперечной $\vec{F}\perp\vec{v}$ силы. Эти условия должны виполнятся всегда, то есть на всем протяжении времени (которое нас интересует) движения частицы?

Если у вас есть просто какой-то вектор и какая-то ось, вы ведь можете разложить его на продольную и поперечную компоненты относительно этой оси? Ну а теперь у нас каждый момент времени своя пара (вектор, ось), хотя, конечно, одно из них или оба могут быть и постоянными во времени в каких-то случаях. Это просто разложение суммы всех сил, а отдельные силы, конечно же, не обязаны быть всё время продольными/поперечными/под каким-то фиксированным углом, никаких условий не накладывается. Конечно, и если меняется только вектор, и если меняется только ось, компоненты разложения будут меняться, это математический факт и ничего существенно физического не добавляет.

UPD. Ой, с чего я решил, что у вас разложение. Тут у вас более простой случай, когда дано, что одна из компонент нулевая. Ну, такое, конечно же, может быть, и ещё много свободы останется у оставшейся компоненты (особенно у поперечной).

misha.physics в сообщении #1213050 писал(а):

Но ведь частица реагирует на силу не мгновенно, значит ли это что эти условия надо понимать в смысле с запаздыванием (по-моему, это я бред написал)?

Да, бред. Второй закон Ньютона никуда не девается, вы же сами его написали: $d\vec p/dt = \vec F$. В нём никакого запаздывания производной импульса по отношению к силе не включено, как и в нерелятивистском случае. Запаздывание получится в другом случае и в другом, когда сила будет вызвана влиянием поля (в той точке, в которой находится частица!), а в поле будут возмущения (от движения ли какой-то другой частицы, или просто свободная волна набежит). Запаздывание появится, если связать нашу частицу с той другой частицей. Но этого всего делать не обязательно.

misha.physics в сообщении #1213050 писал(а):

И ещё, если у нас частица изначально покоится, потом мы "включаем" постоянный вектор силы, как доказать что $\vec{F}\uparrow\uparrow \vec{v}$ на всем протяжении движения?

Ну, например, $\vec p(t) - \vec p(0) = \int_0^t\vec F\,dt$, что должно у вас прекрасно проинтегрироваться, а скорость всегда коллинеарна импульсу.

И не пишите вы этот ноль у массы.

[misha.physics]

arseniiv, да, действительно получается что $\vec{v}(t)\uparrow\uparrow \vec{F}$. Спасибо.

Значит $\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}$ надо понимать в ньютоновском смысле дальнодействия, хорошо. Теперь заменим предыдущие условия на $\vec{F}||\vec{p}$ и $\vec{F}\perp\vec{p}$. Можно ли сказать что мы можем жестко (синхронно) поворачивать векторы $\vec{F}$ и $\vec{p}$ (а значит и $\vec{v}$), и условия продольной и поперечной силы будут выполняться? То есть, в первом случае, если мы повернем вектор силы на бесконечно малый угол, вектор скорости мгновенно повернется на этот же угол? А во втором случае, если под действием поперечной силы вектор скорости повернется на бесконечно малый угол то вектор силы мгновенно повернется на этот же угол. Это имеется ввиду когда говорят про эти условия? А если не на бесконечно малый а на сколь угодно конечный? Но пока непонятно как это доказать.
Я намериваюсь читать Угарова, просто думаю что сейчас я уже близок к ответу на свой вопрос.

[Metford]

misha.physics в сообщении #1213075 писал(а):

Значит $\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}$ надо понимать в ньютоновском смысле дальнодействия

Нет, в смысле дальнодействия в теории относительности ничего не нужно понимать. Дословно в уравнении приравниваются величины, взятые в один и тот же момент времени. И всё. Если же Вы так хотели выразить отсутствие запаздывания, то лучше было так и сказать. А о том, когда запаздывание приходится учитывать, хорошо сказал arseniiv.

misha.physics в сообщении #1213075 писал(а):

То есть, в двух этих случаях, если мы повернем вектор силы на бесконечно малый угол, вектор скорости мгновенно повернется на этот же угол? А если не на бесконечно малый а на сколь угодно конечный?

Если изменение направления вектора силы уже задано в его зависимости от времени, то речь точно не будет идти ни о какой мгновенности - там будет своя зависимость скорости от времени, диктуемая как раз обсуждаемым уравнением. Если Вы хотите руками изменить вектор силы, то в любом случае Вы это будете делать в течение какого-то времени - соответственно этому будет изменяться и импульс частицы, а значит, и её скорость. Опять-таки мгновенности нет (вообще "мгновенность" и СТО - вещи плохо уживающиеся). Что касается конкретной величины угла поворота, то её нужно вычислять. В уравнение входит импульс. В СТО он не связан со скоростью через постоянный коэффициент - зависимость сложнее.

[arseniiv]

misha.physics в сообщении #1213075 писал(а):

Значит $\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}$ надо понимать в ньютоновском смысле дальнодействия, хорошо.

Тут нет и дальнодействия. Вдоль всей мировой линии частицы определён вектор $\vec F$. Это не говорит о том, откуда он берётся.

misha.physics в сообщении #1213075 писал(а):

Теперь заменим предыдущие условия на $\vec{F}||\vec{p}$ и $\vec{F}\perp\vec{p}$. Можно ли сказать что мы можем жестко (синхронно) поворачивать векторы $\vec{F}$ и $\vec{p}$ (а значит и $\vec{v}$), и условия продольной и поперечной силы будут выполняться?

Да, у нас есть такая свобода.

misha.physics в сообщении #1213075 писал(а):

То есть, в первом случае, если мы повернем вектор силы на бесконечно малый угол, вектор скорости мгновенно повернется на этот же угол? А во втором случае, если под действием поперечной силы вектор скорости повернется на бесконечно малый угол то вектор силы мгновенно повернется на этот же угол. Это имеется ввиду когда говорят про эти условия?

Это следствия условия $\vec F\parallel\vec p$.

Вообще у нас могло бы не быть таких мировых линий, для которых оно бы выполнялось. Следования выше это бы не отменило (просто оно было бы нам без толку). Но они есть.

misha.physics в сообщении #1213075 писал(а):

А если не на бесконечно малый а на сколь угодно конечный? Но пока непонятно как это доказать.

То есть, в какой-то момент времени будет скачок импульса или силы? Ну, тут интереснее. Если в какой-то момент скакнула сила, импульс тогда же будет непрерывен, и условие не может выполняться по обе стороны от этого момента времени, если сила не оставалась в правильной гиперплоскости. Если скакнул импульс, его производная в этот момент не определена, а сила и есть его производная. Условие нарушается как минимум в этот момент. Это всё чисто математические вопросы, и их, правда, надо бы рассматривать аккуратнее, чем я тут выдал.

-- Сб апр 29, 2017 02:21:52 --

(Выше под моментом времени я понимаю на самом деле значение чего-то, параметризующего мировую линию. Можно было бы говорить о значении собственного времени, но тогда мы обделим частицы, движущиеся с инвариантной скоростью.)