Еще одна длина эллипса от kalin

[kalin]

tolstopuz, мне режет ухо слово "может", "будет" и т.д. Хочу просто видеть формулу и сравнить ее с известными. Самую точную в итоге выбрать. Это моя цель на данном этапе. Приведите именно формулу, я проанализирую и скажу вам спасибо, если она окажется самой точной.

[tolstopuz]

Картинку по ссылке открывали?

-- Чт апр 27, 2017 23:48:04 --

По поводу Айвори-Бесселя - зайдите в Википедию: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0 ... 1.80.D0.B0

Возьмите первые шесть членов приведенного там ряда. Если хотите точность выше, возьмите больше. Я надеюсь, что вы понимаете математические обозначения.

[kalin]

tolstopuz, еще раз: формула Бесселя относится к разряду точных формул. Она сходится к спецфункции E. В этой теме особо подчеркнул, что такие вещи не рассматриваю. Рассматриваю аппроксимации, похожие на те, что выше дали в ссылке "первый миллион формул".

[mihaild]

kalin, чем "первые $n$ членов ряда" не аппроксимация?

[kalin]

mihaild, а что же тогда до сих пор ищут приближенные формулы?
Здесь же говорили:

sergei1961 в сообщении #1211289 писал(а):

...это очень интересная задача с богатой историей, ею занимались десятки классиков и очень много разных людей, результаты получаются до сих пор.

Конкретизирую свою задачу: ищу самые лучшие приближенные формулы, за исключением ряда Бесселя и спецфункции Е. Даже не знаю, сколько раз можно это повторять.
До недавнего времени лучшей моей находкой была формула Кантрелла, опубликованная в 2005 году. Недавно обнаружил еще более точную, показанную в первом посте. Если у вас есть информация о других подобных эффективных формулах, то буду только рад. Важно, чтобы хорошая точность соблюдалась на как можно большем интервале a/b.

[Dmitriy40]

tolstopuz в сообщении #1212873 писал(а):

Вы таки будете смеяться,

Ну, там это хотя бы берётся из желания малых целых коэффициентов, можно понять, но тут, когда использованы коэффициенты с тремя знаками после запятой ... Нельзя.

[tolstopuz]

kalin в сообщении #1212884 писал(а):

Конкретизирую свою задачу: ищу самые лучшие приближенные формулы, за исключением ряда Бесселя и спецфункции Е.

Вы открывали картинку по моей ссылке с формулой Хассана Абеда?

http://paulbourke.net/geometry/ellipsec ... nAbed1.gif

-- Пт апр 28, 2017 00:55:02 --

Dmitriy40 в сообщении #1212886 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1212873 писал(а):

Вы таки будете смеяться,

Ну, там это хотя бы берётся из желания малых целых коэффициентов, можно понять, но тут, когда использованы коэффициенты с тремя знаками после запятой ... Нельзя.

Это делается из одного желания - подогнать под правильный ответ для вырожденного эллипса. Способы подгонки, таки да, расходятся у Кантрелла и ТС, но значение $7\pi/22$ при такой подгонке присутствовать обязано.

Но решение забраковать частичные суммы ряда Бесселя уже лишено всякой логики, ведь формула Рамануджана тоже раскладывается в такой же ряд по степеням $(a-b)^2/(a+b)^2$, просто коэффициенты начиная с пятой степени другие. От нее, видимо, тоже придется отказаться :)

Плохо не знать матан на уровне хотя бы первого курса - знания подменяются вкусовщиной и предрассудками :)

[kalin]

tolstopuz, вот это другое дело! Смотрим и сравниваем (принял b=1):



Мне пояснять или все понятно?
И еще одно интересное: принял 60 членов формулы Бесселя и все равно новая формула на оси, а Бессель заметно выше.



Так что не зря такой знаменатель у новой формулы.
Вообще-то я проверил свыше 30 самых разных приближенных выражений, и везде аналогичная картина. Подобное встречаю впервые. Поэтому и поместил новую ф-лу в теме о красоте.

[tolstopuz]

Принято строить зависимость ошибки не от $a/b$, а от эксцентриситета $e=\sqrt{1-b^2/a^2}$. Плюс еще относительную ошибку неплохо бы рисовать в логарифмическом масштабе. И вот смотрите:



Из этих графиков очевидно, что можно взять Абеда (или Бесселя, но он скучнее), заново применить к нему вашу подгонку невязок и получить еще более точную формулу.

[kalin]

Но новая структура тем и хороша, что точней и не нужно: слишком она рекордна по-сравнению со всеми другими при относительно малом количестве независимых параметров. Мне другое интересно - есть ли принципиально иные формулы, которые дают бOльшую точность, чем new?
Что касается зависимости от эксцентриситета, то это относится только к эллипсу. Я подходил к данной задаче, как к общей задаче аппроксимации. Мне так удобней и наглядней. Графики, что Вы привели, не дают такой четкости в различиях, как мои графики.
Было с самого начала ясно, что формула Абеда окажется хуже новой. Она тоже основана на шлифовке формулы Рамануджана. Но добавление минимального количества целочисленных параметров не позволяет существенно приблизиться к сложнейшей функции L. Так оно и вышло после моего анализа: Рамануджан в четыре раза улучшился, а до new - пахать и пахать.

[tolstopuz]

kalin в сообщении #1212898 писал(а):

Что касается зависимости от эксцентриситета, то это относится только к эллипсу. Я подходил к данной задаче, как к общей задаче аппроксимации. Мне так удобней и наглядней. Графики, что Вы привели, не дают такой четкости в различиях, как мои графики.

Извините, но все наоборот. Неудачным выбором $a/b$ как оси абсцисс вы размазали крохотный диапазон эксцентриситетов почти вырожденных эллипсов ($e>0{,}98$) на бесконечный полуинтервал, спрятав все остальные значения эксцентриситетов в маленький отрезочек рядом с нулем. Естественно, таким искусственным выбором оси вы выпятили маленький кусочек, где ваша формула лучше, до космических масштабов, называя это "четкостью в различиях".

За постоянным самовосхвалением вы не видите сути задачи. Как я уже говорил, это всего-навсего недостаток базового математического образования.

Если вы не понимаете, что такое эксцентриситет эллипса, отложите по оси абсцисс, например, $b$, положив $a=1$.

[kalin]

tolstopuz, послушайте. Все формулы имеют относительный аргумент a/b и на выходе - интересующий нас приближенный периметр L. Есть также точное значение периметра Lo. Нахожу приближенные значения L и тупо сравниваю с Lo. Зачем мудрить с какими-то эксцентриситетами? Гляжу на ваши графики и ничего понять невозможно. В моих же графиках ничего не смазывается, а все предельно четко.

Далее: у меня b всегда меньше a. В первом посте это четко оговорено. Рассматриваю только a/b>=1.
Короче, ваши рассуждения о базовых ценностях меня совершенно не волнуют. Рассматриваю их как забалтывание темы. Мне нужны только новые хорошие приближенные формулы. Одну дали - она намного грубей, чем new.


Решил "поиграть" количествами членов ряда Бесселя: 10, 15, 20, 30, 40. Очень неважная сходимость! А громадные коэффициенты какие!

[SVD-d]

kalin в сообщении #1212916 писал(а):

Далее: у меня b всегда меньше a. В первом посте это четко оговорено. Рассматриваю только a/b>=1.

Замечу, что при $a > 100b$ эллипс уже близок к прямой, и если это отношение ещё увеличивать, ничего интересного на графике мы не увидим. Думаю, достаточно построить график от единицы до, допустим, трёх.

[tolstopuz]

kalin в сообщении #1212916 писал(а):

Все формулы имеют относительный аргумент a/b

А почему не $b/a$ в пределах от $0$ до $1$, например? Чтобы ваша формула выгоднее смотрелась?

[kalin]

Эту задачу многие рассматривают, как чисто математическую. Стремятся аппроксимировать на всей области значений. Важно не для самого эллипса, а для совершенствования методов аппроксимации.
Теперь что касается соотношений между a и b. В первом посту четко сказано: a - большая полуось, b - малая полуось. Следовательно формула автоматически не рассчитана для отношений a/b<1. Если же получилось именно так, то просто поменяйте обозначения.

Теперь отвлечемся от графиков, которые почему-то вызвали споры. Упростим все до чисел. Я приводил числовой пример: при a=167 и b=1.2 будем иметь значения периметра эллипса L:
668.1004538 точное
667.9180140 Рамануджан-2
668.1004048 New

Другие формулы что покажут? Тут уж конкретная задача, для которой никакой эксцентриситет не нужен. Но именно эту задачу решают все методички и онлайн калькуляторы. Итак, жду.
Можете другие исходные данные взять. Это все равно.