Еще одна длина эллипса от kalin

[kalin]

sergei1961 в сообщении #1211289 писал(а):

Первый миллион формул можно найти здесь:
http://www.numericana.com/answer/ellipse.htm
Вообще, кто не сталкивался, это очень интересная задача с богатой историей, ею занимались десятки классиков и очень много разных людей, результаты получаются до сих пор.

Прекрасная коллекция! С несколькими формулами сравнил - опять же заметно уступают формуле из первого моего поста.

[kalin]

g______d в сообщении #1211186 писал(а):

kalin в сообщении #1211165 писал(а):

Отличается тем, что на несколько порядков точней всех известных приближенных формул расчета периметра эллипса при любых $\frac ab$ от $1$ до $\infty$.

Не верю. Продемонстрируйте, или формулу фтопку.

Демонстрирую. Погуглил и скопировал рисунок, где сопоставляется точность трех приближенных формул: новая, Рамануджана, Кантрелла (2005 г.). Видно, что зеленая линия Рамануджана взмывается почти вертикально, современное приближение Кантрелла уже значительно лучше, но синяя линия нового приближения на порядки точней. И это при отношении осей эллипса от 1 до 1000.

Может, в топку не надо?
Кстати, только что заметил: приближение Кантрелла есть тоже уточнение второй формулы Рамануджана.
На всякий случай сам проверил в маткаде, - ошибок нет.

[g______d]

Вложение:

ellipse.jpg [ 199.59 Кб | Просмотров: 0 ]

f[a_, b_] := (
 22 (a + b + (3 (a - b)^2)/(10 (a + b) + Sqrt[a^2 + 14 a b + b^2])))/(
 7 (1 + E^(-157 (-1 + (a/b)^0.012`)^(
      1.58` + 2.69`/(-1 + (a/b)^0.929`)^0.588`)) (-1 + 22/(7 \[Pi]))))

g[x_] := f[x, 1] - 4 x EllipticE[1 - 1/x^2]

Plot[g[x], {x, 1, 1000}]

И чем она лучше, чем Кантрелл? Или я её вбил неправильно?

-- Чт, 27 апр 2017 09:59:24 --

Или там относительная погрeшность?

[grizzly]

Я нашёл и посмотрел откровения автора. Программист задался целью улучшить формулу методом наименьших квадратов. Понятно, что перебирая десяток-другой параметров на заданном (очень небольшом -- относительно) промежутке можно немного улучшить любую формулу.

[kalin]

g______d
Набили вроде верно. Нужно только относительную погрешность $\frac{f(x,1)}{4xE}-1$

grizzly, попробуйте! Математики несколько веков пытаются как можно точней получить решение.

[Dmitriy40]

grizzly в сообщении #1212827 писал(а):

Понятно, что перебирая десяток-другой параметров на заданном (очень небольшом -- относительно) промежутке можно немного улучшить любую формулу.

Вот-вот, тем более если добавить параметров и разрешить им принимать любое действительное значение ... kalin, такой способ не интересен.

[grizzly]

kalin в сообщении #1212836 писал(а):

grizzly, попробуйте! Математики несколько веков пытаются как можно точней получить решение.

Не говорите ерунды. У математиков есть достаточно удобные (точные) формулы, дающие при практических расчётах любую наперёд заданную точность. Помимо этого, математикам интересна ещё и красота, но смысл этого слова у них совсем не похож на Ваш.

[kalin]

grizzly, этот пост я и начал с разговора о красоте. Мне формула понравилась, вам - нет. На этом и разойдемся.
Точные формулы - это точные формулы. О них речь не идет. Они основаны на итерациях и бесконечных рядах. Я говорю о приближенных формулах, дающих результат при одном прогоне. Здесь привели прекрасную ссылку, где много десятков вариантов, начиная с Кеплера, Эйлера, Пеано и других знаменитостей. На конкретном примере показал преимущество в точности. Если вы сможете еще точней дать формулу, с удовольствием включу в свою книгу.
Вы пишите "перебирая десяток-другой параметров на заданном (очень небольшом -- относительно) промежутке можно немного улучшить любую формулу". Но в данной теме как раз наоборот! Новая формула точней любых других на всем диапазоне отношений полуосей a/b от 1 до бесконечности. В этом-то и красота.

[Dmitriy40]

kalin в сообщении #1212848 писал(а):

Если вы сможете еще точней дать формулу,

Да легко, уверен что если ещё чуть уточнить коэффициенты в этой монстрообразной формуле к примеру до 15-ти знаков после запятой, точность ещё немного повысится. Или ещё какой-нибудь коэффициент заменить на возведение $a/b$ в степень с пятью новыми нецелыми коэффициентами. Толку-то. От нагромождения чисел красоты не прибавится. Вот если бы Вы ограничились исключительно малыми целыми числами - другое дело ...

kalin в сообщении #1212848 писал(а):

Новая формула точней любых других на всем диапазоне отношений полуосей a/b от 1 до бесконечности. В этом-то и красота.

Красота тут только в числителе, в знаменателе тихий ужас. И повысив градус этого ужаса можно точность и ещё улучшить, это очевидно. Вопрос лишь зачем.

[grizzly]

kalin в сообщении #1212848 писал(а):

Мне формула понравилась, вам - нет. На этом и разойдемся.

Нет. Мы разойдёмся на том, что математики ничего подобного не ищут. Такое ищут люди далёкие от математики и не способные воспринимать красоту математических идей.

[kalin]

Dmitriy40 в сообщении #1212852 писал(а):

Красота тут только в числителе, в знаменателе тихий ужас. И повысив градус этого ужаса можно точность и ещё улучшить, это очевидно. Вопрос лишь зачем.

А вот зачем. В инете много онлайн калькуляторов определения периметров эллипса. И в справочниках приводят формулы. Иной раз настолько неточные результаты выдаются, когда сравниваешь с точной формулой...
Насчет тихого ужаса: дайте тогда повышенный градус с улучшенной точностью. Это мне очень нужно. Размер знаменателя совсем не волнует.

[g______d]

kalin в сообщении #1212864 писал(а):

Насчет тихого ужаса: дайте тогда повышенный градус с улучшенной точностью. Это мне очень нужно. Размер знаменателя совсем не волнует.

Ну очевидно, что существует сколь угодно точная формула. Например, при $a/b>10^{100}$ можно просто заменить ответ на $4a$, а на промежутке $[1;10^{100}]$ равномерно приблизить эллиптическую функцию полиномами с любой точностью. Если уж совсем нужно, можно две эти формулы склеить в одну.

Ну или, в конце концов, если вас вообще размеры формул не волнуют, возьмите вместо формулы таблицу значений (и интерполируйте, если нужна именно формула).

Только всё это бесполезно, потому что для приложений проще вычислить интеграл численно.

[Dmitriy40]

kalin в сообщении #1212864 писал(а):

Насчет тихого ужаса: дайте тогда повышенный градус с улучшенной точностью. Это мне очень нужно. Размер знаменателя совсем не волнует.

Не собираюсь плодить монстров. Если не волнует размер формулы - берите ряды и считайте ограниченное количество членов, будете уверены в получаемой точности. Как выше уже сказали в арсенале математиков есть методы вычислений с любой заранее заданной точностью, красота же приближёных формул в их краткости и простоте (а вовсе не кучи сверхточно подобранных коэффициентов).
PS. Лично меня умиляет в этой формуле коррекция отношения $22/7$ до числа $\pi$ тонкой настройкой показателя экспоненты ... Для меня это звоночек о математической безграмотности автора формулы. Может я в этом и не прав.

[kalin]

g______d, нет уж! Склейки, полиномы, сплайны, интерполяции - это не то для меня. Обычная элементарная функция, годная для калькулятора. И без утверждений, что коэффициенты должны быть целочисленными. Что касается дроби, то она есть предел функции Рамануджана в бесконечности. Ведь граничные условия (справа и слева) должны быть абсолютно точными. Эта же дробь присутствует и в формуле Кантрелла (посмотрите на мой рисунок).

[tolstopuz]

Есть еще одно уточнение формулы Рамануджана - формула Хассана Абеда: http://paulbourke.net/geometry/ellipsec ... nAbed1.gif. Эта формула точнее рамануджановской при $e=\sqrt{1-b^2/a^2}>0{,}7$, а значит, и точнее вашей при $0{,}7<e<0{,}988$.

В википедии есть формула Айвори-Бесселя по степеням $h=(a-b)^2/(a+b)^2$, которая начиная с шестой степени тоже точнее рамануджановской.

К любой из этих формул можно приделать хвост, как вы это сделали с рамануджановской, тогда результат будет точнее вашего при любом $e$. Это примерно как принести жабу на кошачью выставку, но работает.

-- Чт апр 27, 2017 23:24:00 --

Dmitriy40 в сообщении #1212868 писал(а):

Лично меня умиляет в этой формуле коррекция отношения $22/7$ до числа $\pi$ тонкой настройкой показателя экспоненты

Я тоже вначале офигел. Вы таки будете смеяться, но формула Рамануджана для $e=1$ дает $\frac{4\pi}{22/7}$, и простейший способ ее скорректировать - это добавить вблизи $e=1$ недостающие $4(1-\frac{\pi}{22/7})$, как сделал Кантрелл.

-- Чт апр 27, 2017 23:25:19 --

А еще у Рамануджана есть формула с двумя подгоночными коэффициентами (которые он вообще задал в градусах-минутах-секундах) и делением тангенса угла на сам угол. Точность гораздо хуже.