Помогите с задачей про дроби из "Алгебра" Гельфанд, Шень

[A.Mercer]

Здравствуйте.
Я прошу помочь мне с парой вопросов, возникших при решении задачи № 44:

Цитата:

Назовём дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ ($a, b, c, d$ - целые положительные числа) «соседними», если их разность $\frac{ad-bc}{bd}$ имеет числитель $\pm1$, то есть если $ad-bc =\pm1$.
........
3. Докажите, что в этом случае никакая дробь $\frac{e}{f}$ с натуральными $e$ и $f$, у которой $f<b +d$, не находится между $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$.

Вопрос один:
При доказательстве пункта 3, я не понимаю, почему $\left\lvert\frac{a}{b} - \frac{e}{f}\right\rvert \geqslant \frac{1}{bf}$ и, аналогично, $\left\lvert\frac{c}{d} - \frac{e}{f}\right\rvert \geqslant \frac{1}{df}$ ?
$\left\lvert\frac{a}{b} - \frac{e}{f}\right\rvert$ не может быть $\leqslant$ чем $\frac{1}{bf}$, потому что тогда не получится "доказательство от обратного"?
Или, потому что $\frac{1}{bd}$ не может быть $\leqslant$ сумме $\frac{1}{bf} + \frac{1}{df}$ ?

Вопрос два:
Как записать

Цитата:

Назовём дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ ($a, b, c, d$ - целые положительные числа) «соседними», если их разность $\frac{ad-bc}{bd}$ имеет числитель $\pm1$, то есть если $ad-bc =\pm1$

с помощью кванторов?
Будет ли правильной такая запись: $\forall a, b, c, d \in \mathbb{Z}^+: (\frac{ad-bc}{bd} = \pm1)\Rightarrow Neighboring(\frac{a}{b},\frac{c}{d})$

[iifat]

Отрешитесь от всего и попробуйте внимательно посмотреть:

$$\frac ab-\frac cd=\frac{0.5}{bd}$$

Ничего не напрягает?

[A.Mercer]

iifat в сообщении #1212744 писал(а):

Отрешитесь от всего и попробуйте внимательно посмотреть:

$$\frac ab-\frac cd=\frac{0.5}{bd}$$

Ничего не напрягает?

Напрягает то, что в этом случае про дроби

$$\frac ab,\frac cd$$

нельзя сказать, что они соседние.

[iifat]

A.Mercer в сообщении #1213346 писал(а):

соседние

Вот именно от этого отрешитесь. Больше ничего не напрягает?

[A.Mercer]

iifat в сообщении #1213378 писал(а):

Вот именно от этого отрешитесь. Больше ничего не напрягает?

Само равенство напрягает. То есть

$$\frac ab - \frac cd = \frac{0.5}{bd} \Rightarrow \frac{ad-bc}{bd} = \frac{1}{2bd}$$

Где-то в левой части должна прятаться $0.5$. Но

$$a,b,c,d \in\mathbb{Z}^+$$

И нецелое число там не может быть.

[iifat]

Ну, ещё добавлю, больше просто по правилам нельзя.
Итак, в числителе $|ad-bc|$, целое число. Не ноль, поскольку совпадающие дроби нас не интересуют. Каково оно, минимальное по модулю ненулевое целое число? Точнее говоря, каков он, этот минимальный модуль?

[A.Mercer]

iifat в сообщении #1214463 писал(а):

Итак, в числителе $|ad-bc|$, целое число. Не ноль, поскольку совпадающие дроби нас не интересуют. Каково оно, минимальное по модулю ненулевое целое число? Точнее говоря, каков он, этот минимальный модуль?

Модуль единицы.
Спасибо Вам за помощь и объяснение.