2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите с задачей про дроби из "Алгебра" Гельфанд, Шень
Сообщение27.04.2017, 02:39 


17/11/16
12
Здравствуйте.
Я прошу помочь мне с парой вопросов, возникших при решении задачи № 44:
Цитата:
Назовём дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ ($a, b, c, d$ - целые положительные числа) «соседними», если их разность $\frac{ad-bc}{bd}$ имеет числитель $\pm1$, то есть если $ad-bc =\pm1$.
........
3. Докажите, что в этом случае никакая дробь $\frac{e}{f}$ с натуральными $e$ и $f$, у которой $f<b +d$, не находится между $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$.

Вопрос один:
При доказательстве пункта 3, я не понимаю, почему $\left\lvert\frac{a}{b} -
 \frac{e}{f}\right\rvert \geqslant \frac{1}{bf}$ и, аналогично, $\left\lvert\frac{c}{d} - \frac{e}{f}\right\rvert \geqslant \frac{1}{df}$ ?
$\left\lvert\frac{a}{b} - \frac{e}{f}\right\rvert$ не может быть $\leqslant$ чем $\frac{1}{bf}$, потому что тогда не получится "доказательство от обратного"?
Или, потому что $\frac{1}{bd}$ не может быть $\leqslant$ сумме $\frac{1}{bf} + \frac{1}{df}$ ?

Вопрос два:
Как записать
Цитата:
Назовём дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ ($a, b, c, d$ - целые положительные числа) «соседними», если их разность $\frac{ad-bc}{bd}$ имеет числитель $\pm1$, то есть если $ad-bc =\pm1$
с помощью кванторов?
Будет ли правильной такая запись: $\forall a, b, c, d \in \mathbb{Z}^+: (\frac{ad-bc}{bd} = \pm1)\Rightarrow Neighboring(\frac{a}{b},\frac{c}{d})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с задачей про дроби из "Алгебра" Гельфанд, Шень
Сообщение27.04.2017, 03:19 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Отрешитесь от всего и попробуйте внимательно посмотреть:$$\frac ab-\frac cd=\frac{0.5}{bd}$$Ничего не напрягает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с задачей про дроби из "Алгебра" Гельфанд, Шень
Сообщение30.04.2017, 18:53 


17/11/16
12
iifat в сообщении #1212744 писал(а):
Отрешитесь от всего и попробуйте внимательно посмотреть:$$\frac ab-\frac cd=\frac{0.5}{bd}$$Ничего не напрягает?

Напрягает то, что в этом случае про дроби $$\frac ab,\frac cd$$ нельзя сказать, что они соседние.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с задачей про дроби из "Алгебра" Гельфанд, Шень
Сообщение01.05.2017, 00:42 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
A.Mercer в сообщении #1213346 писал(а):
соседние
Вот именно от этого отрешитесь. Больше ничего не напрягает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с задачей про дроби из "Алгебра" Гельфанд, Шень
Сообщение03.05.2017, 15:12 


17/11/16
12
iifat в сообщении #1213378 писал(а):
Вот именно от этого отрешитесь. Больше ничего не напрягает?

Само равенство напрягает. То есть $$\frac ab - \frac cd = \frac{0.5}{bd} \Rightarrow \frac{ad-bc}{bd} = \frac{1}{2bd}$$
Где-то в левой части должна прятаться $0.5$. Но $$a,b,c,d \in\mathbb{Z}^+$$
И нецелое число там не может быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с задачей про дроби из "Алгебра" Гельфанд, Шень
Сообщение06.05.2017, 13:14 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Ну, ещё добавлю, больше просто по правилам нельзя.
Итак, в числителе $|ad-bc|$, целое число. Не ноль, поскольку совпадающие дроби нас не интересуют. Каково оно, минимальное по модулю ненулевое целое число? Точнее говоря, каков он, этот минимальный модуль?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите с задачей про дроби из "Алгебра" Гельфанд, Шень
Сообщение07.05.2017, 08:53 


17/11/16
12
iifat в сообщении #1214463 писал(а):
Итак, в числителе $|ad-bc|$, целое число. Не ноль, поскольку совпадающие дроби нас не интересуют. Каково оно, минимальное по модулю ненулевое целое число? Точнее говоря, каков он, этот минимальный модуль?

Модуль единицы.
Спасибо Вам за помощь и объяснение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group