Оценка количества решений диофан. уравнений Круговым методом

[vicvolf]

Сделаю небольшие уточнения последнего сообщения

Следствие из утверждения 4
Если преобразование по методу Лагранжа является целочисленным, а все угловые миноры его матрицы отличны от нуля, то оно с одной стороны является унимодулярным, поэтому к нему применимо утверждение 4. С другой стороны оно приводит квадратичную форму диофантова уравнения к каноническому виду:
$M_1x_1^2+(M_2/M_1)x_2^2+...+(M_r/M_{r-1})x_r^2$, (268)
где $M_i$-угловой минор $i$-ого порядка, а $r$ - ранг квадратичной формы.

Доказательство
Так как все угловые миноры матрицы преобразования отличны от нуля, то матрица преобразования Лагранжа имеет верхнетреугольный вид с единицами на диагонали. Поэтому детерминант такой матрицы равен 1 и так как преобразование Лагранжа является линейным и по условию целочисленным, то является унимодулярным. С другой стороны, так как по условию все угловые миноры матрицы преобразования отличны от нуля, то выполняется условие теоремы Якоби, которая утверждает, что канонический вид квадратичный формы в этом случае определяется формулой (268).

Утверждение 5
Любое целочисленное линейное ортогональное преобразование является унимодулярным и количество целых решений диофантова уравнения, находящихся в гиперкубе при данном преобразовании сохраняется.

Доказательство
Если преобразование ортогональное, то модуль его детерминанта равен единице. Так как по условию данное преобразование также является линейным целочисленным, то оно по определению является унимодулярным. На основании утверждения 4 унимодулярное преобразование сохраняет количество целых решений диофантова уравнения, находящихся в гиперкубе. Так как при ортогональном преобразовании гиперкуб переходит в такой же гиперкуб, то в полученном гиперкубе содержится такое же количество целых решений диофантова уравнения, что и в исходном.

При целочисленном линейном ортогональном преобразовании синусы и косинусы углов поворота вокруг осей координат принимают соответственно только значения 0 и 1, 0 и -1 или наоборот, поэтому при данном преобразовании углы поворота вокруг осей координат кратны $\pi/2$, возможна также осевая симметрия относительно осей координат или композиция этих преобразований.

[vicvolf]

Теперь, как обещал, поясню утверждение 4 на примере.

Пусть имеется однородное диофантово уравнение второго порядка:
$x_1^2+2x_1x_2-3x_2^2=0$. (269)

Выделим полный квадрат в квадратичной форме уравнения (269):
$(x_1+x_2)^2-x_2^2-3x_2^2=(x_1+x_2)^2-4x_2^2=(x_1+3x_2)(x_1-x_2)=0$. (270)

Целые решения уравнения (270) находятся на прямой $x_2=-x_1/3$, которое в квадрате со стороной $[-N,N]$ имеет целых решений $R_2(N)=1+2N/3$ и на прямой $x_2=x_1$, которое в квадрате со стороной $[-N,N]$ имеет целых решений $R_2(N)=2N+1$. Учитывая, что тривиальное решение имеется у обоих уравнений, общее количество целых решений уравнения (269) равно:
$R_3(N)=2N+2N/3+1=1+8N/3$. (271)

На основании (271) количество целых решений уравнения (269) в квадрате со стороной $[-3,3]$ равно:
$R_3(3)=9$. (272)

Сделаем замену переменных в уравнении (269) по методу Лагранжа:
$x'_1=x_1+x_2, x'_2=x_2$,
что соответствует преобразованию:
$x_1=x'_1-x'_2, x_2=x'_2$. (273)

На основании (273) матрица преобразования по методу Лагранжа $C$ имеет вид:

$C$ = $\left( \begin {array} {ccc}1 & -1 \\0 & 1\\\end {array}\right)$. (274)
$det(C)=1$.

Поэтому целочисленная матрица (274) является унимодулярной и выполняются условия утверждения 4.

После унимодулярного преобразования (273) уравнения (269) получаем однородное диофантово уравнение с канонической квадратичной формой:
$(x'_1)^2-4(x'_2)^2=(x'_1+2x'_2)(x'_1-x'_2)=0$. (275)

Уравнение (275) имеет целочисленные решения, находящиеся на прямых:
$x'_2=-x'_1/2, x'_2=x'_1$. (276)

Квадрат со стороной $[-3,3]$ при преобразовании переходит в параллелограмм с вершинами:
$(0,3),(6,3),(0,-3),(-6,-3)$. (277)

На прямых (276) уравнение (275) в параллелограмме (277) имеет также 9 целых решений, что соответствует утверждению 4.

[vicvolf]

Пусть имеется однородное недиагональное алгебраическое диофантово уравнение второго порядка от двух переменных:
$a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+a_{22}x_2^2=0$, (278)

где $M_1=a_{11}$ - угловой минор 1-ого порядка (не равный 0) матрицы квадратичной формы:
$A_2$ = $\left( \begin {array} {ccc}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\\\end {array}\right)$. (279)

Требуется найти соответствующее однородное диагональное алгебраическое диофантово уравнение на основании коэффициентов недиагонального уравнения.

Легко показать, что матрица преобразования по методу Лагранжа уравнения (278), если $M_1$ не равно 0, имеет вид:
$C_2$ = $\left( \begin {array} {ccc}1 & - a_{12}/M_1 \\0 & 1\\\end {array}\right)$. (280)

После преобразования по методу Лагранжа, на основании теоремы Якоби, уравнение (278) примет вид:
$M_1(x'_1)^2+(M_2/M_1)(x'_2)^2=0$, (281)
где $M_i$ - угловой минор $i$ - ого порядка матрицы квадратичной формы (279).

Матрица (280) является целочисленной (унимодулярной, так как $det(C_2)=1$), если либо $a_{12}$ кратно $M_1$ или $M_1=1$ и $2a_{12}$- четно ($a_{12}$- целое). В этих случаях диагональное уравнение будет иметь вид (281).

В остальных случаях матрица преобразования по методу Лагранжа (280) не является целочисленной и для преобразования уравнения (278) к диагональному виду требуется дополнительное преобразование деформации с растяжением по осям координат:
$k_1=1,k_2=M_1$, (282)
если $a_{12}$ - целое, и
$k_1=1,k_2=2M_1$, (283)
если $a_{12}$ - дробное.

Тогда преобразование деформации имеет вид:
$x'_1=k_1x''_1, x'_2=k_2x''_2$. (284)

С учетом преобразования деформации (284) уравнение (281) принимает диагональный вид:
$M_1k_1^2(x''_1)^2+M_2k_2^2/M_1(x''_2)^2=0$. (285)

На основании (282) и (285) в случае, если $a_{12}$ - целое, получаем диагональное уравнение:
$M_1(x''_1)^2+M_1M_2(x''_2)^2=0$. (286)

На основании (283) и (285) в случае, если $a_{12}$ -дробное, получаем диагональное уравнение:
$M_1(x''_1)^2+4M_1M_2(x''_2)^2=0$. (287)

[vicvolf]

Примечание.

Диагональное алгебраическое диафантово уравнение (281) сохраняет количество целых решений недиагонального уравнения (278) в неизмененном после преобразования объеме (гиперкуб переходит, в общем случае, наклонный гиперпараллелепипед того же объема), так как $|det(C) |= 1$, где $C$ - матрица преобразования по методу Лагранжа.

Диагональные алгебраические диофантовы уравнения (286) и (287) сохраняют количество целых решений недиагонального уравнения (278) в измененном после преобразования объеме (гиперкуб переходит, в общем случае, наклонный гиперпараллелепипед с объемом равным объему гиперкуба умноженного на детерминант преобразования ($|det(C_p)| \geq 2$, где $C_p$ - матрица результирующего преобразования).

[vicvolf]

Уточним значение $|det(C_p)|$ в указанных выше случаях.

1. Если $a_{12}$ - целое, то на основании (282):
$C_p$ = $\left( \begin {array} {ccc}1 & -a_{12} \\0 & M_1\\\end {array}\right)$.

Следовательно, $|det(C_p)|=|M_1|$, который по условию не равен 1.

Так как $|det(C_p)|$ является натуральным числом, то выполняется условие $|det(C_p)| \geq 2$.

2. Если $a_{12}$ - дробное, то на основании (283):
$C_p$ = $\left( \begin {array} {ccc}1 & -2a_{12} \\0 & 2M_1\\\end {array}\right)$.

Следовательно, $|det(C_p)|=2|M_1|$.

Так как $|M_1|$ не равен 1, то поскольку $|M_1|=|a_{11}|$ и является натуральным числом, то $|M_1| \geq 2$.
Поэтому $|det(C_p)|=2|M_1| \geq 4$.

[vicvolf]

Пусть имеется однородное недиагональное алгебраическое диофантово уравнение второго порядка от трех переменных:
$a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+a_{33}x_3^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+2a_{23}x_2x_3=0$. (288)

Пусть $M_i$ - угловой минор $i$-ого порядка (не равный 0) ($i=1,2,3$) матрицы квадратичной формы:
$A_3$ = $\left( \begin {array} {ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} \\a_{13} & a_{23} & a_{33}\\\end {array}\right)$. (289)

Требуется найти соответствующее однородное диагональное алгебраическое диофантово уравнение на основании коэффициентов недиагонального уравнения.

Легко показать, что матрица преобразования по методу Лагранжа уравнения (288), если $M_i$ не равно 0, имеет вид:
$C_3$ = $\left( \begin {array} {ccc}1 & - a_{12}/M_1 & - a_{12}(a_{11}a_{23}-a_{12}a_{13})/M_1M_2\\ 0 & 1 & (a_{12}a_{13}-a_{11}a_{23})/M_2\\ 0 & 0 & 1\\\end {array}\right)$. (290)

После преобразования по методу Лагранжа, на основании теоремы Якоби, уравнение (288) примет вид:
$M_1(x'_1)^2+(M_2/M_1)(x'_2)^2+(M_3/M_2)(x'_3)^2=0$. (291)

Матрица (290) является целочисленной (унимодулярной, так как $det(C_3)=1$), если $a_{12}$ и $a_{12}a_{13}-a_{11}a_{23}}$ кратны $M_1$ и одновременно $a_{12}(a_{11}a_{23}-a_{12}a_{13})$ кратно $M_1M_2$. В этих случаях диагональное уравнение будет иметь вид (291).

В остальных случаях матрица преобразования по методу Лагранжа (290) не является целочисленной и для преобразования уравнения (288) к диагональному виду требуется дополнительное преобразование деформации с растяжением по осям координат:

$x'_1=k_1x''_1, x'_2=k_2x''_2,x'_3=k_3x''_3$. (292)

С учетом преобразования деформации (292) уравнение (291) принимает диагональный вид:
$M_1k_1^2(x''_1)^2+M_2k_2^2/M_1(x''_2)^2+M_3k_3^2/M_2(x_3'')^2=0$. (293)

Значения коэффициентов растяжения $k_1,k_2,k_3$ в уравнении (293) равны:
1. Если $a_{12}$- целое и $a_{12}(a_{11}a_{23}-a_{12}a_{13})$ - целое, то $k_1=1,k_2=M_1,k_3=M_1M_2$.
2. Если $a_{12}$- целое , а $a_{11}a_{23}-a_{12}a_{13}$ - дробное, то $k_1=1,k_2=M_1,k_3=2M_1M_2$.
3. Если $a_{12}$- дробное , а $a_{11}a_{23}-a_{12}a_{13}$ - целое и $a_{12}(a_{11}a_{23}-a_{12}a_{13})$ - целое, то $k_1=1,k_2=2M_1,k_3=M_1M_2$.
4. Если $a_{12}$- дробное , а $a_{11}a_{23}-a_{12}a_{13}$ - целое, а $a_{12}(a_{11}a_{23}-a_{12}a_{13})$ - дробное, то $k_1=1,k_2=2M_1,k_3=2M_1M_2$.
5. Если $a_{12}$- дробное и $a_{11}a_{23}-a_{12}a_{13}$ - дробное, то $k_1=1,k_2=2M_1,k_3=4M_1M_2$. (294)

Таким образом, на основании (294) можно сделать вывод, что уже для 3 переменных количество рассматриваемых случаев большое, тем более для большего числа переменных. Поэтому нахождение коэффициентов диагонального уравнения без нахождения матрицы преобразования (290) для большого числа переменных не совсем удобно.

[vicvolf]

Рассмотрим частный случай унимодулярной матрицы (290), когда $|M_1|=|M_2|=|M_3|=1$, где $M_i$ - угловой минор $i$ -ого порядка $(i=1,2,3)$ матрицы квадратичной формы (289).

В этом случае уравнение (291) примет нормальный вид:

1. Если $M_1=-1,M_2=-1,M_3=-1$, то получаем уравнение Ферма $-x_1^2+x_2^2+x_3^2=0$.
2. Если $M_1=-1,M_2=-1,M_3=1$, то получаем уравнение Ферма $-x_1^2+x_2^2-x_3^2=0$.
3. Если $M_1=-1,M_2=1,M_3=-1$, то получаем уравнение только с тривиальным решением $-x_1^2-x_2^2-x_3^2=0$.
4. Если $M_1=-1,M_2=1,M_3=1$, то получаем уравнение Ферма $-x_1^2-x_2^2+x_3^2=0$.
5. Если $M_1=1,M_2=-1,M_3=-1$, то получаем уравнение Ферма $x_1^2-x_2^2+x_3^2=0$.
6. Если $M_1=1,M_2=-1,M_3=1$, то получаем уравнение Ферма $x_1^2-x_2^2-x_3^2=0$.
7. Если $M_1=1,M_2=1,M_3=-1$, то получаем уравнение Ферма $x_1^2+x_2^2-x_3^2=0$.
8. Если $M_1=1,M_2=1,M_3=1$, то получаем уравнение только с тривиальным решением $x_1^2+x_2^2+x_3^2=0$ (295).

Ранее мы уже давали асимптотическую оценку сверху и снизу количества целых решений уравнения Ферма второго порядка в кубе со стороной $[-N,N]$:
$N<<R_3(N) << N \ln(N)$. (296)

Следовательно, асимптотическая оценка (296) справедлива также для всех недиагональных алгебраических диофантовых уравнений от трех переменных второго порядка в кубе со стороной $[-N,N]$, у которых $|M_1|=|M_2|=|M_3|=1$.

[vicvolf]

С помощью теоремы Якоби можно легко показать, что условие $|M_1|=|M_2|=|M_3|=1$ является необходимым и достаточным, чтобы квадратичная форма $f=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+a_{33}x_3^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+2a_{23}x_2x_3$ с помощью преобразования Лагранжа могла быть приведена к нормальному виду.

Однако, в этом случае матрица преобразования $C_3$ (290) может не быть целочисленной, например, когда коэффициент $2a_{12}$ является нечетным. Поэтому условие $|M_1|=|M_2|=|M_3|=1$ не является достаточным для преобразования диофантова уравнения второго порядка (288) с помощью метода Лагранжа к нормальному виду.

В общем случае, для диофантова уравнения второго порядка от $n$ переменных при выполнении условия $|M_1|=...=|M_n|=1$ и целочисленности матрицы преобразования $C_n$, на основании теоремы Якоби, после преобразования по методу Лагранжа мы получаем диагональное уравнение в нормальном виде:
$x_1^2+...x_r^2-x_{r+1}^2-...-x_n^2=0$, (297)
где $r$ - положительный, а $n-r$ отрицательный индекс формы.

Если $n=r$, то уравнение (297) имеет только одно целочисленное тривиальное решение.
Если $n-r>0$, то уравнение (297) имеет бесконечное число целочисленных решений.

Утверждение.

Если $n-r>0$, то уравнение (297) имеет в гиперкубе со стороной $[-N,N]$ следующую оценку снизу количества целочисленных решений:
$R_n(N) \geq (4N+1)^{n-r}$. (298)

Доказательство

Проведем доказательство методом математической индукции по числу переменных.

Первый шаг индукции.

Рассмотрим уравнение:
$x_1^2+...x_r^2-x_{r+1}^2=0$. (299)
Представим уравнение (299), как сумму двух уравнений:
$f_1=x_2^2+...x_{r-1}^2=0, f_2=x_r^2-x_{r+1}^2$.

Уравнение $f_1=0$ имеет одно тривиальное решение.
Уравнение $f_2=(x_r+x_{r+1})(x_r-x_{r+1})=0$ имеет в квадрате со стороной $[-N,N]$ - $4N+1$ целых решений.

Поэтому уравнение $f=f_1+f_2=0$ имеет в квадрате со стороной $[-N,N]$ следующую оценку снизу количества целых решений:
$R_{r+1}(N) \geq 4N+1$, что соответствует утверждению.

Сделаем предположение по индукции, что утверждение (298) выполняется для $n-r=i$, когда $r \geq i+1$ (если условие не выполняется. то поставим перед уравнением знак минус), т.е:
$R_{r+i}(N) \geq (4N+1)^i$. (300)

Покажем, что утверждение выполняется для $n-r=i+1$ при $r \geq i+2$ (если условие не выполняется. то поставим перед уравнением знак минус).
В этом случае уравнение (299) можно представить в виде:
$f_3=f_4+f_5=0$, где
$f_4=x_1^2+...+x_{r-i-2}^2+...+x_{r-1}^2-x_{r+i}^2=0,f_5=x_{r-i-1}^2-x_{r+i+1}=0$.
Для уравнения $f_4=0$ на основании предположение индукции выполняется оценка (300).
Для уравнения $f_5=0$ выполняется оценка:
$R_{2}(N) \geq 4N+1$.

Поэтому для уравнения $f_3=f_4+f_5=0$ выполняется оценка:
$R_{r+i+1}(N) \geq (4N+1)^i (4N+1)=(4N+1)^{i+1}$,
что соответствует утверждению.

Поэтому на основании метода математической индукции выполняется оценка (298).

На основании доказанного утверждения оценка (298) справедлива для любого недиагонального диофантова уравнения второго порядка от $n$ переменных, когда $|M_1|=...=|M_n|=1$ и матрица преобразования по методу Лагранжа $C_n$ целочисленная.

[vicvolf]

Надо уточнить условие унимодулярности матрицы (290).

Матрица (290) является целочисленной (унимодулярной, так как $det(C_3)=1$), если $a_{12}$ и $a_{12}a_{13}-a_{11}a_{23}}$ являются целыми числами, кратными $M_1$ и одновременно $a_{12}(a_{11}a_{23}-a_{12}a_{13})$ являются целыми числами, кратными $M_1M_2$.

На основании доказанного утверждения (298) для уравнения (297) справедлива следующая асимптотическая оценка снизу количества целых решений в гиперкубе со стороной $[-N,N]$:
$R_n(N)>> N^{n-r}$. (301)

Поэтому последнюю фразу в сообщении от 14.04.17 надо уточнить.

На основании доказанного утверждения асимптотическая оценка (301) справедлива для любого недиагонального диофантова уравнения второго порядка от $n$ переменных, когда $|M_1|=...=|M_n|=1$ и матрица преобразования по методу Лагранжа $C_n$ - целочисленная.

[vicvolf]

В сообщении от 27.01.17 было показано, что если недиагональное алгебраическое диофантово уравнение второго порядка соответствует центральной поверхности, у которой центр имеет целочисленные координаты, то с помощью целочисленного аффинного (не обязательно ортогонального) преобразования данное диофантово уравнение можно привести к диагональному виду (Следствие 2).

Как было показано выше, любое целочисленное аффинное преобразование сохраняет асимптотику количества целых решений алгебраического диофантова уравнения, поэтому полученное после указанного целочисленного преобразования диагональное алгебраическое диофантово уравнение имеет туже асимптотику целых решений, что и исходное недиагональное алгебраическое диофантово уравнение в гиперкубе со стороной $[-N,N]$.

Теперь рассмотрим случай, когда недиагональное алгебраическое диофантово уравнение второго порядка:
$F_2(x_1,...,x_k)=a_{11}x_1^2+...+a_{kk}x_k^2+2a_{12}x_1x_2+...$ $+2a_{k-1 k}x_{k-1}x_k+2a_1x_1+...+2a_kx_k+a_0=0$ (302)
соответствует нецентральной поверхности.

В этом случае после преобразования Лагранжа диофантово уравнение (302) приводится к виду:

$F'_2(x'_1,...,x'_k)=a'_{11}x'_1^2+...+a'_{k-1k-1}x'_{k-1}^2+$ $2a'_1x'_1+...+2a'_kx'_k=0$, (303)
где все коэффициенты уравнения являются рациональными числами.

Сделаем параллельный перенос в точку $O'(x'_{10},...,x'_{k0})$:
$x'_1=x''_1+x'_{10},... x'_k=x''_k+x'_{k0}$. (304)

Определим точку $O'(x'_{10},...,x'_{k0})$ так, чтобы все линейные члены стали равными 0, кроме члена $2a''_kx''_k$.

Если координаты точки $O'(x'_{10},...,x'_{k0})$ будут целочисленными, то уравнение (303) после целочисленного преобразования (304) приводится к виду:
$F''_2(x''_1,...,x''_k)=a'_{11}x''_1^2+...+a'_{k-1k-1}x''_{k-1}^2+$ $2a''_kx''_k=0$, (305)
где все коэффициенты уравнения являются рациональными числами.

Далее выполним преобразование деформации (растяжения по осям координат):
$x'''_1=t_1x''_1,...,x'''_k=t_kx''_k$, (306)
где в качестве $t_i$ берется наименьшее общее кратное знаменателей $i$ колонки матрицы преобразования Лагранжа.

Таким образом, после преобразования деформации (306) мы получаем целочисленное аффинное преобразование, которое приводит уравнение (305) к целочисленному виду:
$a'_{11}t_1^2(x''_1)^2+...+a'_{k-1k-1}t_{k-1}^2(x''_{k-1})^2+$ $2a''_{k}t_kx''_k=0$, (307)

Диофантово уравнение (307) является диагональным, которое соответствует параболоиду.

Полученное после указанного целочисленного преобразования диагональное алгебраическое диофантово уравнение (307) имеет туже асимптотику целых решений, что и исходное недиагональное алгебраическое диофантово уравнение (302), соответствующее нецентральной поверхности, в гиперкубе со стороной $[-N,N]$.

Асимптотическую оценку количества целых решений для более общего диагонального уравнения $n$ степени:
$a_1x_1^n+...+a_{k-1}x_{k-1}^n+2a_kx_k=0$ (308)
рассмотрим далее.

[vicvolf]

Уточним последнее сообщение.

Теперь рассмотрим случай, когда недиагональное алгебраическое диофантово уравнение второго порядка:
$F_2(x_1,...,x_k)=a_{11}x_1^2+...+a_{kk}x_k^2+2a_{12}x_1x_2+...$ $+2a_{k-1 k}x_{k-1}x_k+2a_1x_1+...+2a_kx_k+a_0=0$ (302)
соответствует нецентральной поверхности.

В этом случае после преобразования Лагранжа диофантово уравнение (302) приводится к виду:

$F'_2(x'_1,...,x'_k)=a'_{11}x'_1^2+...+a'_{k-1k-1}x'_{k-1}^2+$ $2a'_1x'_1+...+2a'_kx'_k=0$, (303)
где все коэффициенты уравнения являются рациональными числами.

Сделаем параллельный перенос в точку $O'(x'_{10},...,x'_{k0})$:
$x'_1=x''_1+x'_{10},... x'_k=x''_k+x'_{k0}$. (304)

Определим точку $O'(x'_{10},...,x'_{k0})$ так, чтобы все линейные члены стали равными 0, кроме члена $2a''_kx''_k$.

После преобразования (304) уравнение (303) приводится к виду:
$F''_2(x''_1,...,x''_k)=a'_{11}x''_1^2+...+a'_{k-1k-1}x''_{k-1}^2+$ $2a''_kx''_k=0$, (305)
где все коэффициенты уравнения являются рациональными числами.

После преобразования Лагранжа и параллельного переноса (304) мы получаем результирующее преобразование:
$x'_1=c_{11}x''_1+...+c_{1k}x''_k+c_1,...x'_k=c_{k1}x''_1+...+c_{kk}x''_k+c_k$, (305-1)
у которого все коэффициенты рациональные числа.

Если при этом коэффициенты $c_1,...c_k$ - целые числа, то далее выполним преобразование деформации (растяжения по осям координат):
$x'''_1=t_1x''_1,...,x'''_k=t_kx''_k$, (306)
где в качестве $t_i$ берется наименьшее общее кратное знаменателей $i$ колонки матрицы преобразования (305-1).

Таким образом, после преобразования деформации (306) мы получаем целочисленное аффинное преобразование, которое приводит уравнение (305) к целочисленному виду:
$a'_{11}t_1^2(x''_1)^2+...+a'_{k-1k-1}t_{k-1}^2(x''_{k-1})^2+$ $2a''_{k}t_kx''_k=0$, (307)

Диофантово уравнение (307) является диагональным и соответствует параболоиду.

Полученное после указанного целочисленного преобразования диагональное алгебраическое диофантово уравнение (307) имеет туже асимптотику целых решений, что и исходное недиагональное алгебраическое диофантово уравнение (302), соответствующее нецентральной поверхности, в гиперкубе со стороной $[-N,N]$.

Асимптотическую оценку количества целых решений для более общего диагонального уравнения $n$-ой степени:
$a_1x_1^n+...+a_{k-1}x_{k-1}^n+2a_kx_k=0$ (308)
рассмотрим далее.

[vicvolf]

Сначала рассмотрим поясняющий пример для нецентрального случая.

Необходимо привести диофантово уравнение к диагональному виду:
$4x_1^2+9x_2^2+12x_1x_2+8x_1+2x_2+24=0$. (309)

Запишем уравнение (309) в виде
$4(x_1+3x_2/2)^2+8x_1+2x_2+24=0$.

Сделаем преобразование по методу Лагранжа:
$x_1=x'_1-3x'_2/2,x_2=x'_2$. (310)

Из (309) с помощью (310) получаем:
$4x'_1^2+8x'_1-10x'_2+24=0$. (311)

Запишем уравнение (311) в виде:
$4(x'_1+1)^2-10(x'_2-2)=0$. (312)

Сделаем преобразование переноса начала координат для уравнения (312):
$x'_1=x''_1-1,x'_2=x''_2+2$. (313)

После выполнения преобразования (313) получим уравнение:
$4x''_1^2-10x''_2=0$. (314)

После преобразования (313) получаем суммарное преобразование, которое не является целочисленным.
$x_1=x''_1-3x''_2/2-4,x_2=x''_2+2$. (315)

Для получения целочисленного преобразования из (315) сделаем преобразование растяжения по осям координат:
$x''_1=x'''_1,x''_2=2x'''_2$. (316)

После преобразования растяжения по осям координат (316) получим результирующее целочисленное аффинное преобразование:
$x_1=x'''_1-3x'''_2-4,x_2=2x'''_2+2$. (317)

Целочисленное результирующее преобразование (317) приводит исходное уравнение (309) к диагональному виду:
$x'''_1^2-5x'''_2=0$, (318)
которое соответствует параболе.

Полученное после результирующего целочисленного преобразования (317) диагональное алгебраическое диофантово уравнение (318) имеет туже асимптотику целых решений, что и исходное недиагональное алгебраическое диофантово уравнение (309) в гиперкубе со стороной $[-N,N]$.

[vicvolf]

Утверждение 5

В случае, если существует линейное преобразование по методу Лагранжа:

$x'_1=c_{11}x_1+...+c_{1k}x_k,...,x'_k=c_{k1}x_1+...+c_{kk}x_k$, (319)
приводящее форму $n$-ого порядка к каноническому виду:

$a'_1(x'_1)^n+...+a'_k(x'_k)^n$. (320)

Тогда существует преобразование деформации:
$x''_j=t_jx'_j(j=1,...,k)$, (321)

где $t_j$ - наименьшее общее кратное $c_{ij}$,
после которого, на основании (320), (321), форма $n$-ого порядка имеет вид:

$a't_1^n(x''_1)^n+...+a'_kt_k^n(x''_k)^n$ (322)
с целыми коэффициентами.

Доказательство данного утверждения следует из того, что преобразование Лагранжа (319) в случае, если у исходной формы целые коэффициенты, имеет коэффициенты $c_{ij}$, которые (как было сказано выше) являются рациональными числами.

Следствие 1
В случае, если недиагональное алгебраическое диофантово уравнение $n$- ого порядка, соответствующее центральной поверхности, у которой центр не находится в начале координат, с помощью аффинного преобразования, содержащего линейное преобразование Лапласа и последующий перенос:

$x'_1=c_{11}x_1+...+c_{1k}x_k+c_1,...,x'_k=c_{k1}x_1+...+c_{kk}x_k+c_k$, где $c_1,...,c_k$ - целые числа, может быть приведено к виду:

$a'_1(x'_1)^n+...+a'_k(x'_k)^n+a'_0=0$, (323)
где $a'_0$- целое число.

Тогда с помощью преобразования деформации:
$x''_j=t_jx'_j(j=1,...,k)$, (324)
где $t_j$ - наименьшее общее кратное $c_{ij}$, на основании утверждения 5 (322), уравнение (323) может быть приведено к виду:
$a't_1^n(x''_1)^n+...+a'_kt_k^n(x''_k)^n+a'_0=0$ (325)
с целыми коэффициентами.

Примечание
В случае, если недиагональное диофантово уравнение, соответствующее центральной поверхности $n$-ого порядка, у которой центр находится в начале координат, с помощью линейного преобразования по методу Лагранжа (319) может быть приведено к виду (323). Тогда с помощью преобразования деформации (324), на основании утверждения 5 (322), уравнение (323) может быть приведено к виду (325) с целыми коэффициентами.

Уравнение (325) является диагональным уравнение Туэ $n$-ого порядка. Асимптотическая оценка количества его целых решений в гиперкубе со стороной $[-N,N]$ рассматривалась в данной теме ранее (155).

Как было показано выше, если существует целочисленное аффинное преобразование, приводящее недиагональное алгебраическое диофантово уравнение к диагональному, то асимптотические оценки количества целых их решений совпадают. Поэтому асимптотическая оценка количества целых решений недиагонального диофантова алгебраического уравнения $n$- ого порядка, соответствующего центральной поверхности, при указанных в следствии 1 условиях, совпадает с асимптотической оценкой количества целых решений уравнения (325) в гиперкубе со стороной $[-N,N]$.

[vicvolf]

В следствии 1 имеется описка - преобразование Лагранжа, а не Лапласа.

Следствие 2
В случае, если недиагональное алгебраическое диофантово уравнение $n$- ого порядка, соответствующее нецентральной поверхности, с помощью аффинного преобразования, содержащего линейное преобразование Лагранжа и последующий перенос:

$x'_1=c_{11}x_1+...+c_{1k}x_k+c_1,...,x'_k=c_{k1}x_1+...+c_{kk}x_k+c_k$, где $c_1,...,c_k$ - целые числа,
может быть приведено к виду:

$a'_1(x'_1)^n+...+a'_{k-1}(x'_{k-1})^n+2a'_kx'_k=0$. (326)

Тогда, с помощью преобразования деформации:

$x''_j=t_jx'_j(j=1,...,k)$, где $t_j$ - наименьшее общее кратное $c_{ij}$,
уравнение (326) может быть приведено к диагональному виду:

$a't_1^n(x''_1)^n+...+a'_{k-1}t_{k-1}^n(x''_{k-1})^n+2a'_kt_kx'_k=0$ (327)
с целыми коэффициентами.

Доказательство следствия 2 следует из того, что все коэффициенты линейного преобразования Лагранжа $c_{ij}$ являются рациональными числами.

Асимптотическая оценка количества целых решений диагонального алгебраического диофантова уравнения (327) в гиперкубе со стороной $[-N,N]$ будет рассмотрена далее.

Как было показано выше, если существует целочисленное аффинное преобразование, приводящее недиагональное алгебраическое диофантово уравнение к диагональному, то асимптотические оценки количества целых их решений совпадают. Поэтому асимптотическая оценка количества целых решений недиагонального диофантова алгебраического уравнения $n$- ого порядка, соответствующего нецентральной поверхности, при указанных в следствии 2 условиях, совпадает с асимптотической оценкой количества целых решений уравнения (327) в гиперкубе со стороной $[-N,N]$

[vicvolf]

В утверждении 5 и следствиях из него допущена описка. Преобразование деформации имеет вид:
$x'_j=t_jx''_j,(j=1,..,k)$, где $t_j$ - наименьшее общее кратное $c_{ij}$.

Рассмотрим поясняющий пример.

Пусть дано недиагональное алгебраическое диофантово уравнение третьего порядка:
$8x^3+3xy^2+12x^2y+28y^3=0$. (328)

Требуется найти диагональное алгебраическое уравнение третьего порядка, имеющего туже асимптотику количества целых решений в квадрате со стороной $[-N.N]$, что и недиагональное уравнение (328), и определить асимптотику его целых решений.

Решение.
Выделим полный куб из кубической формы слева уравнения (328) по методу Лагранжа:
$8x^3+3xy^2+12x^2y+28y^3=8(x+y/2)^3-y^3+28y^3=8(x+y/2)^3+(3y)^3=0$.(329)

Выполним замену переменных в (329):
$x'=x+y/2,y'=3y$ или сделаем линейное преобразование:
$x=x'-y'/6,y=y'/3$. (330)

Выполнив преобразование (330) c (329) получим уравнение:
$8x'^3+y'^3=0$. (331)

Преобразование (330) не является целочисленным, поэтому выполним преобразование деформации:
$x'=t_1x'',y'=t_2y''$, (332)
где $t_1=1,t_2=6$.

После преобразования деформации (332) получим на основании (330) результирующее целочисленное преобразование:
$x=x''-y'',y=2y''$. (333)

На основании результирующего целочисленного преобразования (333) получим из уравнения (328) целочисленное диагональное алгебраическое диофаннтово уравнение:
$(2x'')^3+(6y'')^3=0$, (334)
которое имеет целочисленные решения, находящиеся на прямой:
$x''+3 y''=0$.

Таким образом, в квадрате $[-N.N]$ диагональное диофантово алгебраическое уравнение (334) имеет асимптотику целых решений, совпадающую с асимптотикой целых решений недиагонального диофантова уравнения (328), равную:
$R_2(N)=O(N)$.