Поле квадруполя

[Metford]

Сначала приношу извинения, что привлекаю внимание к простой задаче.

Есть вот такая система (четыре заряда по вершинам квадрата):

Нужно посчитать потенциал её поля далеко от неё (это я так развлекаюсь в свободное время, если что). Сторона квадрата равна $a$. Считаю тензор квадрупольного момента. Для этого предварительно нахожу координаты зарядов: $+q: (0,0,0)$, $-q: (a/2,a/2,\pm a\sqrt{2}/2)$, $+q: (a,a,0)$. Компоненты тензора:

$$D_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}qa^2&\frac{3}{2}qa^2 & 0\\ \frac{3}{2}qa^2& \frac{3}{2}qa^2 & 0\\ 0&0 & -3qa^2 \end{pmatrix}.$$

Подставляю в формулу квадрупольного члена мультипольного разложения: $\frac{D_{\alpha\beta}x_{\alpha}x_{\beta}}{2r^5}$. Получаю

$$\varphi=\frac{3}{4}qa^2\frac{(x+y)^2-2z^2}{r^5}=\frac{3qa^2}{4r^3}(1+\sin 2\phi\sin^2\theta-3\cos^2\theta).$$

Последнее выражение в сферических координатах. Великие Батыгин и Топтыгин приводят в ответе (смотрел в старом ещё советском издании) выражение

$$\varphi=\frac{qa^2}{4r^3}(3\sin 2\phi\sin^2\theta-3\cos 2\theta-1).$$

Вроде бы к моему оно не приводится. В декартовых координатах почему-то ответ не приведён. Скажите, это я ошибаюсь? Так вроде бы негде... Хотя я могу...

[svv]

Выпустим из центра квадрата луч в направлении $\theta=\frac{\pi}2, \phi=-\frac{\pi}4$. Любая точка на этом луче равноудалена от всех зарядов, значит, потенциал на луче строго равен нулю. Соответственно, и формула для поля в дальней зоне должна давать нуль для этого направления. Ваша формула эту проверку проходит, а формула Батыгина-Топтыгина — нет.

[DimaM]

Metford
В Батыгине и Топтыгине (2-е издание, 1970, задача 94) квадруполь расположен в плоскости $xy$, стороны квадрата параллельны осям. Поэтому углы имеют другой смысл. И формула другая

$$\varphi=\dfrac{3qa^2\sin^2\theta\cos\phi\sin\phi}{r^3}.$$

[Metford]

DimaM
А ещё там есть задача 103 - именно ею я и занимаюсь. Оттуда и рисунок, кстати. Про 94-ю задачу я знаю. Она тривиальна.

[DimaM]

Metford в сообщении #1212232 писал(а):

А ещё там есть задача 103 - именно ею я и занимаюсь.

Да, что-то я ее не приметил .
У меня такой же ответ получился, как у вас. К БТ не приводится.

[Metford]

DimaM, Вы тогда видели, что там ещё просят получить его из ответа к номеру 94 - но мне как-то не захотелось прямо сразу матрицу поворота конструировать.
В общем, по всей видимости, в задачнике застарелая опечатка, а я считать не разучился. Прямо-таки хочется авторам сообщить Об опечатке, естественно.
DimaM, svv, спасибо!

[Metford]

Metford в сообщении #1212239 писал(а):

там ещё просят получить его из ответа к номеру 94 - но мне как-то не захотелось прямо сразу матрицу поворота конструировать.

А вот, кстати, оказалось не так уж сложно эту матрицу построить. И ответ снова мой воспроизвёлся. Так что точно в ответах приведено ошибочное выражение.

[DimaM]

Metford в сообщении #1212311 писал(а):

Так что точно в ответах приведено ошибочное выражение.

Поди, специально, чтоб студент не расслаблялся

[Metford]

DimaM в сообщении #1212312 писал(а):

Поди, специально, чтоб студент не расслаблялся

Разве что. Я вот специально провёл мини-исследование. В старом издании и новом (от РХД) - ответ один и тот же (неверный). Есть ещё книга Батыгина и Топтыгина "Современная электродинамика". Там эта задача тоже присутствует со всё тем же ответом. Тут уже на стереотипность издания не сослаться.

Кстати, была у меня в своё время мысль сделать задачник, посадить в ответы 0,5% ошибок (мелких - типа коэффициента неправильного) - о чём честно предупредить, чтобы студент не воспринимал ответы как истину в последней инстанции. Особенно довольны будут в типографии: ответы редактор сможет вообще не проверять. Одной ошибкой больше - одной меньше