Возмущение произведения матриц

[smog4ik]

Здравствуйте,

В данный момент я нахожусь в процессе написания дипломной работы и немного застрял. Мне кажется, что следующее утверждение верно, но моих знаний недостаточно для того, чтобы быть уверенным в его правильности.

Утверждение:

Пусть $W_i \in \mathbb{R}^{d_i \times d_{i - 1}}, \ i = \overline{1, H}, \quad p := \mathop{\rm argmin} \limits_{1 \leq i \leq H} d_i$.

Рассмотрим $R := W_H \cdot \dots \cdot W_1 \in \mathbb{R}^{d_H \times d_0}$. Очевидно, что $\operatorname{rank}(R) \leq d_p$.

Пусть $\hat{R} \in \mathbb{R}^{d_H \times d_0}$ есть возмущение матрицы $R$ (в том смысле, что $||\hat{R} - R||_\infty$ значительно меньше любого числа в матрице $R$), такое что $\operatorname{rank}(\hat{R}) \leq d_p$.

Тогда существуют такие $\hat{W_i} \in \mathbb{R}^{d_i \times d_{i - 1}}$, что $\hat{R} = \hat{W_H} \cdot \dots \cdot \hat{W_1}$ и $\hat{W_i}$ есть возмущение $W_i$.

Я пытался думать в следующем направлении:

Определим отображение $F: \mathbb{R}^{d_1 \times d_0} \times \dots \times \mathbb{R}^{d_H \times d_{H - 1}} \mapsto X_F, \quad F(W_1, \ \dots, \ W_H) = W_H \cdot \dots \cdot W_1$, где $X_F := \{R \in \mathbb{R}^{d_H \times d_0} \ | \ \operatorname{rank}(R) \leq d_p\}$.

Обозначим $\mathbb{R}^{d_1 \times d_0} \times \dots \times \mathbb{R}^{d_H \times d_{H - 1}}$ через $X$.

Утверждение выше будет верно, если удастся показать следующее:

$\forall W \in X:$ если $W \in U \subset X$ - открытое множество, то $F(W) \in \mathop{\rm Int}(F(U))$.

К сожалению, мои попытки ни к чему не привели. Как Вам кажется, это утверждение имеет смысл или в нем имеются какие-то очевидные ошибки? Если оно правильное, не могли бы Вы подтолкнуть меня в направлении доказательства?

[mihaild]

Какие-то ограничения на $\hat{W_i}$ есть? Если нет, то верно (вспомните критерий разрешимости системы линейных уравнений).

[smog4ik]

mihaild в сообщении #1210874 писал(а):

Какие-то ограничения на $\hat{W_i}$ есть? Если нет, то верно (вспомните критерий разрешимости системы линейных уравнений).

Никаких ограничений помимо того, что $\hat{W_i}$ должно быть возмущением $W_i$.

Я не совсем понимаю при чем здесь критерий разрешимости системы линейных уравнений. Объясните, пожалуйста.

[mihaild]

smog4ik в сообщении #1210886 писал(а):

что $\hat{W_i}$ должно быть возмущением $W_i$.

А как формально определяется "возмущение"?

smog4ik в сообщении #1210886 писал(а):

Я не совсем понимаю при чем здесь критерий разрешимости системы линейных уравнений

Попробуйте зафиксировать $\hat{W_1}, \hat{W_2}, \ldots, \hat{W_{H - 1}}$. Что получится?

[smog4ik]

mihaild в сообщении #1210888 писал(а):

smog4ik в сообщении #1210886 писал(а):

что $\hat{W_i}$ должно быть возмущением $W_i$.

А как формально определяется "возмущение"?

В данном случае, понимается следующее:
Матрица $A$ есть возмущение матрицы $B$, если $\exists \epsilon > 0: \ ||A - B||_\infty < \epsilon$, где $\epsilon \ll B_{ij}, \ \forall B_{ij} \neq 0$.

[mihaild]

А как строго определяется $\ll$?
Правда ли, что нужно показать, что если $R_i \to R$, то существуют $W_{j, i}: W_{j, i} \to W_j$, что $R_i = \prod\limits_j W_{j, i}$?

smog4ik в сообщении #1210869 писал(а):

$\forall W \in X$

Тут же должно быть $W \in U$?

-- 20.04.2017, 14:03 --

А как строго определяется $\ll$?
Правда ли, что нужно показать, что если $R_i \to R$, то существуют $W_{j, i}: W_{j, i} \to W_j$, что $R_i = \prod\limits_j W_{j, i}$?

smog4ik в сообщении #1210869 писал(а):

$\forall W \in X$

Тут же должно быть $W \in U$?

[DeBill]

smog4ik
Если бы не было условия

smog4ik в сообщении #1210869 писал(а):

и $\hat{W_i}$ есть возмущение $W_i$.

, то утверждение, видимо, верно. И могло бы доказываться по такому плану:
1. $X_F$ - неприводимое алгебраическое многообразие (?)
2. Ранг дифференциала от-я $F$ (в регулярной точке) равен размерности $X_F$ (?)
3. $X_F$ совпадает с $X$ (Если 1 и 2 - верно, то это должно получаться из каких-нить теорем алгебраической геометрии).
НО: условие то есть.И теперь надо - неприводимость локальную (ростков алг. мн-в). А ее то и нет. Так что можно пробовать сторить контрпример, типа, когда у $X$ есть самопересечения.

-- 20.04.2017, 20:48 --


Что то я засомневался, правда ли это.
Надо бы спецов по алг. гео. спросить: как устроено - локально - многообразие матриц постоянного ранга, есть ли там таки безобразия (самопересечения)
И: домножение матриц-сомножителей на константы сводится к умножению на константу матрицы-произведения. Т.е., хорошо бы все пространства матриц проектизировать. И будем тогда жить в конфортных для алг. геометрии проективных пространствах.

[Xaositect]

DeBill в сообщении #1211136 писал(а):

Надо бы спецов по алг. гео. спросить: как устроено - локально - многообразие матриц постоянного ранга, есть ли там таки безобразия (самопересечения)

Нету там ничего страшного, особые точки на многообразии матриц ранга $r$ - матрицы ранга $\leq r - 1$.

[smog4ik]

mihaild в сообщении #1211024 писал(а):

А как строго определяется $\ll$?
Правда ли, что нужно показать, что если $R_i \to R$, то существуют $W_{j, i}: W_{j, i} \to W_j$, что $R_i = \prod\limits_j W_{j, i}$?

Скажу честно, я взял данное определение из статьи, на идеях из которой я строю одну из глав дипломной. Но да, я понимал под этим определением именно это.

mihaild в сообщении #1211024 писал(а):

smog4ik в сообщении #1210869 писал(а):

$\forall W \in X$

Тут же должно быть $W \in U$?

Да, прошу прощения. У меня пропала возможность правки первого сообщения, попросил модераторов внести поправку.

-- 21.04.2017, 15:33 --

DeBill в сообщении #1211136 писал(а):

Надо бы спецов по алг. гео. спросить: как устроено - локально - многообразие матриц постоянного ранга, есть ли там таки безобразия (самопересечения)

Кажется ли Вам, в свете сообщения от Xaositect, что утверждение может быть верно и при наличии условия "$\hat{W_i}$ есть возмужение $W_i$"?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Для правки стартового сообщения. Как будет готово, дайте знать кому-нибудь где-нибудь.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»