2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Возмущение произведения матриц
Сообщение19.04.2017, 21:57 


09/03/15
11
Здравствуйте,

В данный момент я нахожусь в процессе написания дипломной работы и немного застрял. Мне кажется, что следующее утверждение верно, но моих знаний недостаточно для того, чтобы быть уверенным в его правильности.

Утверждение:

Пусть $W_i \in \mathbb{R}^{d_i \times d_{i - 1}}, \ i = \overline{1, H}, \quad p :=  \mathop{\rm argmin} \limits_{1 \leq i \leq H} d_i$.

Рассмотрим $R := W_H \cdot \dots \cdot W_1 \in \mathbb{R}^{d_H \times d_0}$. Очевидно, что $\operatorname{rank}(R) \leq d_p$.

Пусть $\hat{R} \in \mathbb{R}^{d_H \times d_0}$ есть возмущение матрицы $R$ (в том смысле, что $||\hat{R} - R||_\infty$ значительно меньше любого числа в матрице $R$), такое что $\operatorname{rank}(\hat{R}) \leq d_p$.

Тогда существуют такие $\hat{W_i} \in \mathbb{R}^{d_i \times d_{i - 1}}$, что $\hat{R} = \hat{W_H} \cdot \dots \cdot \hat{W_1}$ и $\hat{W_i}$ есть возмущение $W_i$.

Я пытался думать в следующем направлении:

Определим отображение $F: \mathbb{R}^{d_1 \times d_0} \times \dots \times \mathbb{R}^{d_H \times d_{H - 1}} \mapsto X_F, \quad F(W_1, \ \dots, \ W_H) = W_H \cdot \dots \cdot W_1$, где $X_F := \{R \in \mathbb{R}^{d_H \times d_0} \ | \ \operatorname{rank}(R) \leq d_p\}$.

Обозначим $\mathbb{R}^{d_1 \times d_0} \times \dots \times \mathbb{R}^{d_H \times d_{H - 1}}$ через $X$.

Утверждение выше будет верно, если удастся показать следующее:

$\forall W \in X:$ если $W \in U \subset X$ - открытое множество, то $F(W) \in \mathop{\rm Int}(F(U))$.

К сожалению, мои попытки ни к чему не привели. Как Вам кажется, это утверждение имеет смысл или в нем имеются какие-то очевидные ошибки? Если оно правильное, не могли бы Вы подтолкнуть меня в направлении доказательства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Возмущение произведения матриц
Сообщение19.04.2017, 22:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1263
Москва
Какие-то ограничения на $\hat{W_i}$ есть? Если нет, то верно (вспомните критерий разрешимости системы линейных уравнений).

 Профиль  
                  
 
 Re: Возмущение произведения матриц
Сообщение19.04.2017, 22:47 


09/03/15
11
mihaild в сообщении #1210874 писал(а):
Какие-то ограничения на $\hat{W_i}$ есть? Если нет, то верно (вспомните критерий разрешимости системы линейных уравнений).


Никаких ограничений помимо того, что $\hat{W_i}$ должно быть возмущением $W_i$.

Я не совсем понимаю при чем здесь критерий разрешимости системы линейных уравнений. Объясните, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возмущение произведения матриц
Сообщение19.04.2017, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1263
Москва
smog4ik в сообщении #1210886 писал(а):
что $\hat{W_i}$ должно быть возмущением $W_i$.
А как формально определяется "возмущение"?

smog4ik в сообщении #1210886 писал(а):
Я не совсем понимаю при чем здесь критерий разрешимости системы линейных уравнений
Попробуйте зафиксировать $\hat{W_1}, \hat{W_2}, \ldots, \hat{W_{H - 1}}$. Что получится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Возмущение произведения матриц
Сообщение20.04.2017, 12:29 


09/03/15
11
mihaild в сообщении #1210888 писал(а):
smog4ik в сообщении #1210886 писал(а):
что $\hat{W_i}$ должно быть возмущением $W_i$.
А как формально определяется "возмущение"?


В данном случае, понимается следующее:
Матрица $A$ есть возмущение матрицы $B$, если $\exists \epsilon > 0: \ ||A - B||_\infty < \epsilon$, где $\epsilon \ll B_{ij}, \ \forall B_{ij} \neq 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возмущение произведения матриц
Сообщение20.04.2017, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1263
Москва
А как строго определяется $\ll$?
Правда ли, что нужно показать, что если $R_i \to R$, то существуют $W_{j, i}: W_{j, i} \to W_j$, что $R_i = \prod\limits_j W_{j, i}$?
smog4ik в сообщении #1210869 писал(а):
$\forall W \in X$
Тут же должно быть $W \in U$?

-- 20.04.2017, 14:03 --

А как строго определяется $\ll$?
Правда ли, что нужно показать, что если $R_i \to R$, то существуют $W_{j, i}: W_{j, i} \to W_j$, что $R_i = \prod\limits_j W_{j, i}$?
smog4ik в сообщении #1210869 писал(а):
$\forall W \in X$
Тут же должно быть $W \in U$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Возмущение произведения матриц
Сообщение20.04.2017, 17:52 
Заслуженный участник


10/01/16
1304
smog4ik
Если бы не было условия
smog4ik в сообщении #1210869 писал(а):
и $\hat{W_i}$ есть возмущение $W_i$.

, то утверждение, видимо, верно. И могло бы доказываться по такому плану:
1. $X_F$ - неприводимое алгебраическое многообразие (?)
2. Ранг дифференциала от-я $F$ (в регулярной точке) равен размерности $X_F$ (?)
3. $X_F$ совпадает с $X$ (Если 1 и 2 - верно, то это должно получаться из каких-нить теорем алгебраической геометрии).
НО: условие то есть.И теперь надо - неприводимость локальную (ростков алг. мн-в). А ее то и нет. Так что можно пробовать сторить контрпример, типа, когда у $X$ есть самопересечения.

-- 20.04.2017, 20:48 --


Что то я засомневался, правда ли это.
Надо бы спецов по алг. гео. спросить: как устроено - локально - многообразие матриц постоянного ранга, есть ли там таки безобразия (самопересечения)
И: домножение матриц-сомножителей на константы сводится к умножению на константу матрицы-произведения. Т.е., хорошо бы все пространства матриц проектизировать. И будем тогда жить в конфортных для алг. геометрии проективных пространствах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возмущение произведения матриц
Сообщение20.04.2017, 20:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5765
DeBill в сообщении #1211136 писал(а):
Надо бы спецов по алг. гео. спросить: как устроено - локально - многообразие матриц постоянного ранга, есть ли там таки безобразия (самопересечения)
Нету там ничего страшного, особые точки на многообразии матриц ранга $r$ - матрицы ранга $\leq r - 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Возмущение произведения матриц
Сообщение21.04.2017, 14:28 


09/03/15
11
mihaild в сообщении #1211024 писал(а):
А как строго определяется $\ll$?
Правда ли, что нужно показать, что если $R_i \to R$, то существуют $W_{j, i}: W_{j, i} \to W_j$, что $R_i = \prod\limits_j W_{j, i}$?

Скажу честно, я взял данное определение из статьи, на идеях из которой я строю одну из глав дипломной. Но да, я понимал под этим определением именно это.

mihaild в сообщении #1211024 писал(а):
smog4ik в сообщении #1210869 писал(а):
$\forall W \in X$
Тут же должно быть $W \in U$?

Да, прошу прощения. У меня пропала возможность правки первого сообщения, попросил модераторов внести поправку.

-- 21.04.2017, 15:33 --

DeBill в сообщении #1211136 писал(а):
Надо бы спецов по алг. гео. спросить: как устроено - локально - многообразие матриц постоянного ранга, есть ли там таки безобразия (самопересечения)


Кажется ли Вам, в свете сообщения от Xaositect, что утверждение может быть верно и при наличии условия "$\hat{W_i}$ есть возмужение $W_i$"?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение21.04.2017, 16:41 
Заблокирован по собственному желанию


20/03/14
31/12/17
7337
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Для правки стартового сообщения. Как будет готово, дайте знать кому-нибудь где-нибудь.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение24.04.2017, 22:00 
Заблокирован по собственному желанию


20/03/14
31/12/17
7337
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group