Определение вещественного числа

[Padawan]

mihaild в сообщении #1210593 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1210569 писал(а):

Есть. Кажется, оно написано в учебнике Л.И. Камынина.

Там ссылка непонятно куда. (а еще неправильное определение - забыта архимедовость)

Ничего не забыто. Архимедовость является следствием других аксиом, ниже она сформулирована в виде теоремы. Аксиома полноты у Камынина - существование у каждого непустого ограниченного сверху множества точной верхней грани.

-- Ср апр 19, 2017 10:28:07 --

Под полнотой еще часто подразумевают теорему о том, что каждая фундаментальная последовательность имеет предел, эквивалентно - принцип Кантора о вложенных отрезках. Тогда архмедовость надо дополнительно постулировать.

[kp9r4d]

Про все эти отношения аксиом есть хорошая методическая статья: Real analysis in reverse.

[Odysseus]

kp9r4d в сообщении #1210728 писал(а):

Про все эти отношения аксиом есть хорошая методическая статья: Real analysis in reverse.

Спасибо за ссылку, с первого взгляда интересно, почитаю.

Кстати, насчет отношений между определениями, аксиомами, теоремами и прочим. Я всегда удивлялся, почему их (почти никогда) не изображают графами и блок-схемами:
- Такие-то определения/понятия - так выстраиваются по степени общности на лестнице абстракций (простой пример попытался привести словами в post1210671.html#p1210671, но там все слишком просто, в более запутанных случаях это полезнее).
- Такие-то определения/аксиомы - основной аргумент (способ доказательства) в таких-то теоремах.
- Такие-то аксиомы/теоремы эквиваленты между собой.
- Такие-то теоремы так между собой связаны
- Такие-то примеры относятся к таким-то понятиям или теоремам (иногда сразу к нескольким, объединяя их между собой)
и т.д.

Когда я, уже довольно давно, учил что-то - всегда старался изобразить подобные схемы и связи. Благодаря этому все понималось гораздо лучше, а значит и запоминалось, становилось "своим". Конечно, не всегда это было строго, но оставшиеся детали легко восстанавливались. В мозгу же хранятся не длинные доказательства или многоэтажные формулы с кучей букв и индексов, а простые идеи, структуры, связи и картинки, примерно как на подобных схемах с основными идеями.

В каком-то смысле это близко к идеям и диаграммам в теории категорий :) В данном случае эти диаграммы скорее на понятийном поле определений, аксиом, лемм и теорем, но иногда такие связи между разными структурами близки по смыслу к функторам между категориями.

Допустим авторы учебников могут предпочитать более формальные изложения "без картинок" (или неявно подразумевая активную работу читателей с самостоятельным осознанием схем и связей, или боясь впасть в вульгаризацию и излишнее упрощение), но уж в методических пособиях можно не стесняться этого. Или у математиков есть какие-то негласные правила и ограничения по этому поводу? Или я вообще удивляюсь зря и это только для меня было полезно?

[Munin]

Odysseus в сообщении #1210741 писал(а):

Я всегда удивлялся, почему их (почти никогда) не изображают графами и блок-схемами:
- Такие-то определения/понятия - так выстраиваются по степени общности на лестнице абстракций

В Википедии это есть.

В некоторых случаях графы получились бы слишком запутанными, чтобы их изображать.

[Odysseus]

Munin Я вроде иногда встречал, но мне кажется это бывает редко, и это только один из примеров графов-схем, про которые я говорили. А можете привести примеры, которые вам запомнились?

Про запутанные графы - я как раз и говорил про упрощения. Разумеется, не всегда все можно изобразить абсолютно корректно и во всех деталях, речь идет только про главные идеи и связи. (Грубая аналогия: когда частично-упорядоченное множество показывается в виде графа, то, обычно, показываются только связи между ближайшими элементами, а не все связи, которые существуют согласно транзитивности отношения порядка.)

[Munin]

https://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics)#Related_algebraic_structures (табличка)
https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)#Domains (последняя строчка параграфа)

[Odysseus]

Munin, спасибо. Да, это простые и не очень показательные случаи, примерно то, что я упоминал в post1210671.html#p1210671

[Munin]

Я видел и чего-то покрасивее, но навскидку не нашёл.

[kp9r4d]

Odysseus
Я тоже графы и таблички люблю очень. В ncatlab есть много подобных табличек, но, зачастую, не между конкретными конструкциями, а между идеями и концепциями, например:
двойственность между алгеброй и геометрией в физике
соответствие между мат. формализмами и физическими теориями
классификация геометрий в духе эрлагенской программы
ну там много чего подобного можно найти.

[Munin]

kp9r4d в сообщении #1210866 писал(а):

двойственность между алгеброй и геометрией в физике

Правда, это всё не физика :-)

[kp9r4d]

Может быть, я просто переписал заголовок.

[Odysseus]

kp9r4d Спасибо. Да, это хороший пример глобальных отношений и диаграмм между разными теориями, т.е. это как раз близко к "функторам между категориями". Но я еще люблю и графы-диаграммы-таблички "внутри категории", и даже внутри "объектов категорий" в смысле связей между отдельными понятиями, аксиомами, леммами, теоремами и т.д. внутри данной теории, еще до выстраивания аналогий между ей и другими теориями. Что-то в стиле статьи на которую вы сослались выше, "более тонкое разбиение" и углубление в более мелкие детали.