Определение вещественного числа

[Munin]

al12345
Вообще верно: классики заблуждались, их понимание не было настолько отшлифованным, как современное.

[Brukvalub]

al12345 в сообщении #1210554 писал(а):

А классики начинали с моделей, аксиоматическое построение возникло намного позже. Наверное дураки были, а вот учащиеся им сейчас класс покажут :)

Так раньше только на лошадях ездили, и только у знахарей лечились. Про такое слово: "прогресс" слышали?

[mihaild]

Brukvalub в сообщении #1210551 писал(а):

сразу концентрирует внимание учащегося именно на свойствах вещественных чисел, очищая это понятие от деталей, присущих конкретным моделям

Я сам больше люблю аксиоматическое задание структур, но помню, что на 1м курсе очень испугался списка из 10 аксиом и не понимал, как жить, пока не наткнулся на Рудина и не узнал, что можно представлять вещественные числа почти наглядно.

Brukvalub в сообщении #1210551 писал(а):

Естественно, затем нужно доказать единственность и построить какую-либо из моделей.

А есть достаточно простые доказательства единственности? (что ничего лишнего добавить нельзя)
В любом случае, непонятно зачем тут доказывать единственность. Просто будем доказывать теоремы в виде "для любого поля вещественных чисел и непрерывной функции из этого поля в себя $\ldots$".

Munin в сообщении #1210546 писал(а):

Лично мне кажется достаточно лёгким только шаг "фунд. последовательности $\Rightarrow$ беск. $n$-ичные дроби", поскольку каждая такая дробь является такой последовательностью.

Ну что любое число можно приблизить рациональными доказывается из аксиом (и это всё равно всегда делается), так что сечения тоже легко вкладываются в последовательности.
Последовательности в сечения вкладываются тоже просто (числа, меньшие бесконечно далеких членов последовательности), но тут будет техническая возня.
А вот что-то вкладывать в десятичные дроби - без меня

[Brukvalub]

mihaild в сообщении #1210563 писал(а):

А есть достаточно простые доказательства единственности? (что ничего лишнего добавить нельзя)

Есть. Кажется, оно написано в учебнике Л.И. Камынина.

mihaild в сообщении #1210563 писал(а):

В любом случае, непонятно зачем тут доказывать единственность.

Например, чтобы потом "даром" получить изоморфность всех моделей.

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1210525 писал(а):

"единственно правильное" определение - аксиоматическое.

al12345 в сообщении #1210554 писал(а):

А классики начинали с моделей,

а городки Бертран Рассел говорил, что аксиоматический метод имеет огромное преимущество перед всеми остальными -- примерно такое же, что и воровство перед честным трудом. А он знал, что говорил: он сам сильно увлекался аксиоматиками, потому и знал им цену.

[al12345]

Brukvalub в сообщении #1210559 писал(а):

al12345 в сообщении #1210554 писал(а):

А классики начинали с моделей, аксиоматическое построение возникло намного позже. Наверное дураки были, а вот учащиеся им сейчас класс покажут :)

Так раньше только на лошадях ездили, и только у знахарей лечились. Про такое слово: "прогресс" слышали?

Да, мне один знахарь про прогресс рассказывал. Вот только вылизать теорию, а потом на всем готовеньком, ее аксиоматизировать - это не прогресс, а нечто иное. Хотя иногда и бывает очень полезным.

Что иное - уточнять не буду, выше уже всплыла расхожая фраза про честный труд vs мелкое жульничество. Добавлю только один нюансик - я не смогу с ходу вспомнить автора аксиоматики действительных чисел. Подозреваю, что его и вовсе может не быть, ибо, начиная с некоторого момента, это становится тривиальным упражнением, на котором корифеи побрезгуют ставить свое имя. А под моделями стоят таки подписи Дедекинда и Вейерштрасса, не самых последних людей в математическом мире.

И еще - выбросьте, пожалуйста, Камынина в топку. Если он Вам чем-то дорог, то оставьте его себе, а детям эту гадость не советуйте.

Для справки - я знаю толк в устрицах, этот аффтар два года читал мне мат.анализ.

[mihaild]

Brukvalub в сообщении #1210569 писал(а):

Есть. Кажется, оно написано в учебнике Л.И. Камынина.

Там ссылка непонятно куда. (а еще неправильное определение - забыта архимедовость) Впрочем, я уже сам доказал

(Доказательство)

Пусть $\mathbb{R}$ - множество сечений, $X$ - полное архимедово поле. Очевидно, что $\mathbb{R}$ вкладывается в $X$. Пусть вложение не сюръективное - тогда в $X$ есть некоторый элемент $q$, не являющийся ничьим образом. Т.к. поле всё же архимедово, то $q < n$ для какого-то $n$, так что множество $y := \{x \in \mathbb{Q} | f(x) < q\}$ - это сечение. Ну и давайте пристально посмотрим на $\frac{1}{|f(y) - q|}$ и обнаружим, что оно больше всех натуральных чисел.
UPD: на самом деле надо брать верхнюю грань в $X$ и ее прообраз в $\mathbb{R}$, но в общем допиливается.

Brukvalub в сообщении #1210569 писал(а):

Например, чтобы потом "даром" получить изоморфность всех моделей.

А что понимается под единственностью, если не изоморфность всех моделей?

[al12345]

Munin в сообщении #1210556 писал(а):

al12345
Вообще верно: классики заблуждались, их понимание не было настолько отшлифованным, как современное.

Не стоит путать понимание с самомнением.

[arseniiv]

А кто-то кроме вас путает? Извините, в вашем первом сообщением в этой теме была грубая ошибка

al12345 в сообщении #1210454 писал(а):

сходимость данной геометрической прогрессии к единице

Геометрическая прогрессия $1,1/9,1/9^2,\ldots$ сходится к нулю, как и подобает любой геометрической прогрессии, у которой есть сумма. Это, конечно, прекрасно, что у вас много разных мнений, но стоит ли им быть прям тут?

[al12345]

arseniiv в сообщении #1210602 писал(а):

А кто-то кроме вас путает? Извините, в вашем первом сообщением в этой теме была грубая ошибка

al12345 в сообщении #1210454 писал(а):

сходимость данной геометрической прогрессии к единице

Геометрическая прогрессия $1,1/9,1/9^2,\ldots$ сходится к нулю, как и подобает любой геометрической прогрессии, у которой есть сумма. Это, конечно, прекрасно, что у вас много разных мнений, но стоит ли им быть прям тут?

1. Молодой человек, полагаю, что тут все, кроме Вас, поняли, что речь идет о сумме.
2. И эта сумма вовсе не той геометрической прогрессии, что Вы тут выписали.

Дабы Вас утешить, заметим, что общий член верной геометрической прогрессии так таки стремится к нулю, как нам и завещало необходимое условие сходимости ряда.

[mihaild]

al12345 в сообщении #1210605 писал(а):

общий член верной арифметической прогрессии так таки стремится к нулю

А вот это уже интереснее. Можно, пожалуйста, пример арифметической прогрессии с общим членом, стремящимся к нулю, кроме $0, 0, 0, \ldots$?

[Dan B-Yallay]

mihaild
Вроде просто опечатка. Непосредственно перед этим о геометрической речь.

[al12345]

Dan B-Yallay в сообщении #1210610 писал(а):

mihaild
Вроде просто опечатка. Непосредственно перед этим о геометрической речь.

Бинго!

Это даже не опечатка, а характер ненордический нестойкий: немного вывела из равновесия манера общения коллеги Арсения.

Специально для mihaild: лучше Вы приведите пример арифметической прогрессии, сумма которой сходится, кроме любимого Вами 0,0,,,,, :)

[ewert]

al12345 в сообщении #1210590 писал(а):

расхожая фраза про честный труд vs мелкое жульничество.

Но надо понимать, что за этой фразой стоит. Вовсе не пренебрежение аксиоматикой как таковой, нет (она действительно полезна для "наведения порядка в мозгах"). А чёткое осознание того, что любая аксиоматика без предъявления моделей практически бесполезна, это во-первых. А во-вторых, между прочим, что модели нужны и сугубо теоретически -- для обоснования непротиворечивости аксиоматики.

[arseniiv]

(Оффтоп)

al12345 в сообщении #1210605 писал(а):

Молодой человек

Почему вы решили, что знаете мой возраст?

al12345 в сообщении #1210605 писал(а):

полагаю, что тут все, кроме Вас, поняли, что речь идет о сумме

Это не повод писать неграмотно в разделе ПРР.

al12345 в сообщении #1210605 писал(а):

И эта сумма вовсе не той геометрической прогрессии, что Вы тут выписали.

Да, тут я уже сам ерунду написал. Конечно, это последовательность $9\cdot10^{-1},9\cdot10^{-2},\ldots$. (Но, по крайней мере, я не сделал этого в первом же сообщении после автора темы.)

P. S. Мда, сам теперь заредактировался знатно. Видимо, действительно не стоило реагировать на неопределённой направленности оценочные суждения.