Зачем нужна плотность полиномов?

[трапезун]

Вопрос такой: доказал я плотность многочленов в каком-нибудь интересном пространстве (например, в индуктивном пределе пространств каких-то бесконечно дифф-ых функций).. Какое это может иметь приложение и к чему? Зачем нужна вся эта аппроксимация?

Добавлено спустя 12 минут 49 секунд:

Ну определение плотности множества я знаю. Мне бы просто на пальцах: зачем это всё происходит? Затем, чтобы не загонять в машину не бог весть какие функции, а замечательные со всех сторон многочлены?

[Dan B-Yallay]

трапезун писал(а):

Вопрос такой: доказал я плотность многочленов в каком-нибудь интересном пространстве (например, в индуктивном пределе пространств каких-то бесконечно дифф-ых функций).. Какое это может иметь приложение и к чему? Зачем нужна вся эта аппроксимация?

Добавлено спустя 12 минут 49 секунд:

Ну определение плотности множества я знаю. Мне бы просто на пальцах: зачем это всё происходит? Затем, чтобы не загонять в машину не бох весть какие функции, а замечательные со всех сторон многочлены?

Например, при решении диффуров иногда приходится работать со спектрами дифференциальных операторов ($\frac {d}{dx}, \triangle$ и так далее) и им сопряженных. Чтобы сопряженный оператор имел более-менее "человеческий вид", то есть был нетривиальным, необходимо чтобы он был определен на плотном множестве. Часто сопряженным опять таки является дифференциальный оператор, но "живет" он в каком-нибудь $L^p, H^1$ или $W^{2,\infty}$. Поэтому желательно чтобы дифференцируемые функции были плотны в каком-то пространстве, где определен сопряженный. Это если вкратце и на пальцах.
А вообще в двух словах не расскажешь - надо читать книжку Васи Пупкина "Умная книга".

Наверняка есть куча других применений.

[трапезун]

Большое спасибо!