Пример вычисления вычета из учебника Винберга

[wintwir]

Добрый день! В первой главе "Курса алгебры" Винберга имеется пример вычисления вычета $[2]^{100}$ в кольце $\mathbb{Z}_{125}$ (пример 7 параграфа 5, стр. 31 по изданию 13 года). Приводится очевидная цепочка вычислений и ответ $[2]^{100} \equiv 1 \; (\operatorname{mod} 125)$. Однако, далее, ссылаясь на делимость $2^{100}$ на $8$, приводится соответствующий вычет в кольце $\mathbb{Z}_{1000}$, а именно $[2]^{100} \equiv 376 \; (\operatorname{mod} 1000)$. Вопрос: как, используя лишь вычет в кольце $\mathbb{Z}_{125}$ и делимость на $8$, получить вычет $\mathbb{Z}_{1000}$?

[Brukvalub]

wintwir в сообщении #1210572 писал(а):

Однако, далее, ссылаясь на делимость $2^{100}$ на $8$, приводится соответствующий вычет в кольце $\mathbb{Z}_{1000}$, а именно $[2]^{100} \equiv 376 \; (\operatorname{mod} 1000)$. Вопрос: как, используя лишь вычет в кольце $\mathbb{Z}_{125}$ и делимость на $8$, получить вычет $\mathbb{Z}_{1000}$?

Вычет $[2]^{100}$ по модулю $1000$ равен вычету $[2]^{97}$ по модулю $125$.

[wintwir]

Brukvalub в сообщении #1210575 писал(а):

wintwir в сообщении #1210572 писал(а):

Однако, далее, ссылаясь на делимость $2^{100}$ на $8$, приводится соответствующий вычет в кольце $\mathbb{Z}_{1000}$, а именно $[2]^{100} \equiv 376 \; (\operatorname{mod} 1000)$. Вопрос: как, используя лишь вычет в кольце $\mathbb{Z}_{125}$ и делимость на $8$, получить вычет $\mathbb{Z}_{1000}$?

Вычет $[2]^{100}$ по модулю $1000$ равен вычету $[2]^{97}$ по модулю $125$.

Согласен, но это по сути рассчет вычета "с нуля" без использования предыдущего результата, т.к. необходимо считать $[2]^{97}$. Есть ли более короткий путь?

[AV_77]

Китайская теорема об остатках, по сути к ней сводится. А так достаточно найти такое число $x < 1000$, которое имеет вид $x = 1 + 125k$ и делится на $8$.