Пусть

— дифференцируемая на
![$[\xi, \eta]$ $[\xi, \eta]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/f/76f3ea1e07bc31220630d20655a52e1182.png)
функция, у которой ряд Фурье существует и

,

. Напишем её тогда в виде

Дифференцируя по

, напишем
![$$
\dot h(t) = \sum \limits_{n = 1}^{\infty} \left[-\dfrac{2 \pi n a_n}{\eta - \xi} \right] \sin \dfrac{2 \pi n t}{\eta - \xi} + \left[ \dfrac{2 \pi n b_n}{\eta - \xi} \right] \cos \dfrac{2 \pi n t}{\eta - \xi}.
$$ $$
\dot h(t) = \sum \limits_{n = 1}^{\infty} \left[-\dfrac{2 \pi n a_n}{\eta - \xi} \right] \sin \dfrac{2 \pi n t}{\eta - \xi} + \left[ \dfrac{2 \pi n b_n}{\eta - \xi} \right] \cos \dfrac{2 \pi n t}{\eta - \xi}.
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/d/25d530af4668037b5d589980ffb9ca8282.png)
Первую квадратную скобку обозначим

, вторую

. Таким образом,

Теперь напишем равенства Парсеваля:


вводя обозначения

,

, напишем окончательно

где

Если положить, что

,

,

,

, то получим
![$$
\dfrac{1}{l} \int \limits_0^l \left[ \left(\dfrac{\pi}{l}\right)^2 {\dot h}^2 - h^2\right] \ \mathrm dt = \sum \limits_{n = 1}^{\infty} S^2_n \left(\dfrac{4 \pi^2}{l^2} \dfrac{l^2}{\pi^2} n^2 - 1 \right) = \sum \limits_{n = 1}^{\infty} S^2_n (4 n^2 - 1) > 0
$$ $$
\dfrac{1}{l} \int \limits_0^l \left[ \left(\dfrac{\pi}{l}\right)^2 {\dot h}^2 - h^2\right] \ \mathrm dt = \sum \limits_{n = 1}^{\infty} S^2_n \left(\dfrac{4 \pi^2}{l^2} \dfrac{l^2}{\pi^2} n^2 - 1 \right) = \sum \limits_{n = 1}^{\infty} S^2_n (4 n^2 - 1) > 0
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/c/33c1f835cf46e1a913fe923ccba14fee82.png)
(неравенство из предыдущего сообщения).
Пользоваться выведенной оценкой удобно, если

. С другой стороны,

Условие сильного экстремума говорит о том, что

знакопостоянна для всех вариаций (либо больше нуля, либо меньше нуля)

таких, что

. Тогда следствием будет неравенство

, откуда

откуда следует, что

можно сделать сколь угодно маленьким, уменьшая

. Член же с суммой от

не зависит, и поэтому

можно при анализе отбросить вовсе, так как оно может быть сделано заведомо меньшим, чем член с суммой.
Возвращаясь к нашим баранам, где

,

,

,

, имеем

так как при всех

члены суммы положительны, а знак

означает "с точностью до

" в соответствии со сказанным выше. Следовательно, экстремаль даёт минимум.
-----------------------------------------------
Это хорошее рассуждение?