Как исследовать экстремаль?

[StaticZero]

Пусть есть интегральный функционал с краевыми условиями

$$ I[x] = \int \limts_0^{\pi/12} (\dot x^2 + 2 x \dot x - 9x^2) \ \mathrm dt, \qquad x(0) = 0, \quad x\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \sqrt{2}. $$

Уравнение Эйлера для него выглядит так:

$$ 2 \ddot x + 2\dot x + 18x - 2 \dot x = 0, \qquad \ddot x + 9x = 0. $$

Решение уравнения, удовлетворяющее краевым условиям, будет $x(t) = 2 \sin 3t$.

Теперь проварьируем функционал:

$$ \delta I = I[x + h] - I[x] = \int \limits_0^{\pi/12} \Big(2 \dot x \dot h + \dot h^2 + 2x \dot h +2 h \dot x +2 h \dot h - 18 x h - 9 h^2\Big) \ \mathrm dt. $$

Заметим, что

$$ \int (x \dot h + h \dot x) \ \mathrm dt = \int \mathrm d(xh) = 0, $$

так как $h$ на краях нуль. Заметим ещё, что $\displaystyle \int h \dot h \ \mathrm dt = 0$ по той же причине. Ещё заметим, что $\displaystyle \int \dot x \dot h \ \mathrm dt = - \int h \ddot x \ \mathrm dt = 9 \int h x \ \mathrm dt$, что следует из уравнения Эйлера. Таким образом, от вариации интеграла остались только рожки да ножки, так как всё остальное уничтожилось:

$$ \delta I = \int \limits_0^{\pi/12} (\dot h^2 - 9h^2) \ \mathrm dt. $$

В ответе написано, что экстремаль $2 \sin 3t$ доставляет функционалу сильный минимум, то есть $\delta I \geqslant 0$ для любых $h$, но у меня не получается это увидеть из выражения для вариации, так как в принципе $\dot h$ и $\dot h$ могут быть любыми. Как это понять?

[popolznev]

Известно неравенство, которое называют по-разному (то ли Фридрихса, то ли Пуанкаре-Стеклова, то ли ещё как):

$$\int\limits_0^l f^2(t)dt \le \left(\frac{l}{\pi}\right)^2\cdot \int\limits_0^l (f')^2(t)dt,$$

если $f(0)=f(l)=0$. У вас получается с большим запасом.

[StaticZero]

Пусть $h(t)$ — дифференцируемая на $[\xi, \eta]$ функция, у которой ряд Фурье существует и $h(\eta) = h(\xi) = 0$, $\eta > \xi$. Напишем её тогда в виде

$$ h(t) = h_0 + \sum \limits_{n = 1}^{\infty} \left(a_n \cos \dfrac{2 \pi n t}{\eta - \xi} + b_n \sin \dfrac{2 \pi n t}{\eta - \xi}\right). $$

Дифференцируя по $t$, напишем

$$ \dot h(t) = \sum \limits_{n = 1}^{\infty} \left[-\dfrac{2 \pi n a_n}{\eta - \xi} \right] \sin \dfrac{2 \pi n t}{\eta - \xi} + \left[ \dfrac{2 \pi n b_n}{\eta - \xi} \right] \cos \dfrac{2 \pi n t}{\eta - \xi}. $$

Первую квадратную скобку обозначим $b'_n$, вторую $a'_n$. Таким образом,

$$ \dot h(t) = \sum \limits_{n = 1}^{\infty} \left(b'_n \sin \dfrac{2 \pi n t}{\eta - \xi} + a'_n \cos \dfrac{2 \pi n t}{\eta - \xi}\right). $$

Теперь напишем равенства Парсеваля:

$$ \dfrac{1}{\eta - \xi} \int \limits_{\xi}^{\eta} h^2 \ \mathrm dt = h^2_0 + \sum \limits_{n = 1}^\infty \dfrac{a^2_n + b^2_n}{2}, $$

$$ \dfrac{1}{\eta - \xi} \int \limits_{\xi}^{\eta} {\dot h}^2 \ \mathrm dt = \sum \limits_{n = 1}^\infty \dfrac{(a'_n)^2 + (b'_n)^2}{2} = \dfrac{4 \pi^2}{(\eta - \xi)^2}\sum \limits_{n = 1}^{\infty} n^2 \dfrac{a^2_n + b^2_n}{2}, $$

вводя обозначения $l = \eta - \xi$, $S^2_n =\dfrac{a^2_n + b^2_n}{2}$, напишем окончательно

$$ \dfrac{1}{l} \int \limits_{\xi}^{\eta} (\alpha h^2 + \beta {\dot h}^2) \ \mathrm dt = \alpha h^2_0 + \sum \limits_{n = 1}^{\infty} S^2_n \left( \alpha + \dfrac{4 \pi^2 \beta n^2}{l^2}\right), $$

где

$$h_0 = \dfrac{1}{l} \int \limits_{\xi}^{\eta} h \ \mathrm dt.$$

Если положить, что $h_0 = 0$, $\xi = 0$, $\beta = \left(\dfrac{l}{\pi}\right)^2$, $\alpha = -1$, то получим

$$ \dfrac{1}{l} \int \limits_0^l \left[ \left(\dfrac{\pi}{l}\right)^2 {\dot h}^2 - h^2\right] \ \mathrm dt = \sum \limits_{n = 1}^{\infty} S^2_n \left(\dfrac{4 \pi^2}{l^2} \dfrac{l^2}{\pi^2} n^2 - 1 \right) = \sum \limits_{n = 1}^{\infty} S^2_n (4 n^2 - 1) > 0 $$

(неравенство из предыдущего сообщения).

Пользоваться выведенной оценкой удобно, если $h_0 = 0$. С другой стороны,

$$h^2_0 = \dfrac{1}{l^2} \left|\int \limits_{\xi}^{\eta} h \ \mathrm dt\right|^2 \leqslant \dfrac{1}{l^2} \int \limits_{\xi}^{\eta} h^2 \ \mathrm dt.$$

Условие сильного экстремума говорит о том, что $\delta I$ знакопостоянна для всех вариаций (либо больше нуля, либо меньше нуля) $h(t)$ таких, что $|h| < \varepsilon$. Тогда следствием будет неравенство $h^2 = |h|^2 < \varepsilon^2$, откуда

$$ h^2_0 \leqslant \dfrac{l \varepsilon^2}{l^2} = \dfrac{\varepsilon^2}{l}, $$

откуда следует, что $h^2_0$ можно сделать сколь угодно маленьким, уменьшая $\varepsilon$. Член же с суммой от $\varepsilon$ не зависит, и поэтому $h_0$ можно при анализе отбросить вовсе, так как оно может быть сделано заведомо меньшим, чем член с суммой.

Возвращаясь к нашим баранам, где $\xi = 0$, $l = \dfrac{\pi}{12}$, $\beta = 1$, $\alpha = -9$, имеем

$$ \dfrac{1}{l} \int \limits_{\xi}^{\eta} ({\dot h}^2 - 9h^2) \ \mathrm dt \sim \sum \limits_{n = 1}^{\infty} S^2_n \left( \dfrac{4 \pi^2 n^2}{\pi^2/144} - 9 \right) = \sum \limits_{n = 1}^{\infty} S^2_n \left(144 \cdot 4 n^2 - 9 \right) > 0 $$

так как при всех $n$ члены суммы положительны, а знак $\sim$ означает "с точностью до $\varepsilon^2$" в соответствии со сказанным выше. Следовательно, экстремаль даёт минимум.
-----------------------------------------------
Это хорошее рассуждение?

[Brukvalub]

StaticZero в сообщении #1210291 писал(а):

Дифференцируя по $t$, напишем

$$ \dot h(t) = \sum \limits_{n = 1}^{\infty} \left[-\dfrac{2 \pi n a_n}{\eta - \xi} \right] \sin \dfrac{2 \pi n t}{\eta - \xi} + \left[ \dfrac{2 \pi n b_n}{\eta - \xi} \right] \cos \dfrac{2 \pi n t}{\eta - \xi}. $$

Лихо! А вы уверены, что можно вот так запросто почленно дифференцировать ряд Фурье, и ряд из производных сойдется к производной от суммы исходного ряда?

[StaticZero]

Хочу на теорему Ляпунова сослаться, так как нам по сути требуется лишь выполнение равенства Парсеваля для формального ряда производной.

В Фихтенгольце (Т. III, 736, с. 648) написано:

Цитата:

Теорема Ляпунова. Какова бы ни была интегрируемая с квадратом $f(x)$, всегда

$$ \lim \limits_{n \to \infty} \delta_n = 0, $$

где

$$ \delta_n = \int \limits_{-\pi}^\pi f^2(x) \ \mathrm dx - \pi \left[\dfrac{a^2_0}{2} + \sum \limits_{k = 1}^n (a^2_k + b^2_k)\right]. $$

Там рассматривается функция на $[-\pi, \pi]$, но перевести на нужный язык не очень трудно: там ряд Фурье выглядит, как

$$ f \sim \dfrac{a_0}{2} + \sum \limits_n (a_n \cos nx + b_n \sin nx). $$

Если обозначить $a_0/2 = A$, то в квадратных скобках первый член будет равен $2A$, и двойку можно вынести за скобку, и тогда там будет стоять $2 \pi \left[ A + \sum \limits_k \dfrac{a^2_k + b^2_k}{2}\right]$. Сделав формальную обобщающую замену $2 \pi \to l$ и поменяв чуть аргументы косинуса и синуса, напишем

$$ \dfrac{1}{l} \int \limits_a^b f^2(x) \ \mathrm dx = A + \sum \limits_{n = 1}^{\infty} \left[a_n \cos \dfrac{2 \pi n x}{l} + b_n \sin \dfrac{2 \pi n x}{l}\right],$$

а больше нам ничего и не нужно, даже сходимости, лишь только наша $\dot h$ интегрируема с квадратом на нужном интервале...

[Brukvalub]

StaticZero в сообщении #1210338 писал(а):

Хочу на теорему Ляпунова сослаться, так как нам по сути требуется лишь выполнение равенства Парсеваля для формального ряда производной.

Хорошая мысль!

[ewert]

popolznev в сообщении #1210108 писал(а):

Известно неравенство, которое называют по-разному (то ли Фридрихса, то ли Пуанкаре-Стеклова, то ли ещё как):

$$\int\limits_0^l f^2(t)dt \le \left(\frac{l}{\pi}\right)^2\cdot \int\limits_0^l (f')^2(t)dt,$$

если $f(0)=f(l)=0$. У вас получается с большим запасом.

Вот именно что с большим. Это -- точная оценка, основанная на спектральной теории, что в данном случае артиллерия довольно тяжёлая.

Фактически же это некоторая теорема вложения, которую можно получить вполне элементарными средствами. Например, так:

$$|f(x)|=\left|\int\limits_0^xf'(t)dt\right|\leqslant\int\limits_0^x|f'(t)|dt\leqslant\sqrt{\int\limits_0^x|f'(t)|^2dt\cdot\int\limits_0^x1^2dt}\leqslant\sqrt{l\int\limits_0^l|f'(t)|^2dt};$$

$$\int\limits|f(x)|^2dx\leqslant\int\limits_0^ldx\cdot l\int\limits_0^l|f'(t)|^2dt=l^2\int\limits_0^l|f'(t)|^2dt,$$

причём граничного условия достаточно только на одном конце. Оценка, конечно, грубая, но поскольку $l^2$ порядка одной пятнадцатой, то вполне достаточная.

А Фурье, разумеется, от лукавого.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #1210387 писал(а):

А Фурье, разумеется, от лукавого.

Тем не менее, обязательно стОит похвалить ТС за креативность и умение искать различные пути решения задачи!

[ewert]

Ну, похвалим. Кстати, если уж о точностях: точная оценка для граничного условия только на одном конце - с $\left(\frac{2l}{\pi}\right)^2$ вместо $l^2$.