Геометрическое видение линейной алгебры(литература)

[Aizek128]

В каком учебнике можно найти хорошие геометрические интерпретации понятий линейной алгебры (определитель матрицы как объём, СЛУ как набор плоскостей, различная магия с линейными операторами и.т.д). Также приветствуются учебники на английском языке.
P.S Как думаете нужна ли визуализация для глубокого понимания материала (если возможно визуализировать) ? Также интересует как вы мысленно интерпретируете/визуализируете понятия абстрактной алгебры(поля, группы, и.т.д). Как увидеть в линейном пространстве, что все аксиомы необходимы и нет лишних и не надо добавлять других ?
P.S.S Какая есть литература о том как математики видят понятия и мысленно интерпретируют их.

[mihailm]

Учебников по ЛА очень немного, на русском штук 15 - просто просмотрите их все.
Кстати в аксиомах линейного пространства (стандартных) есть лишние.

[alcoholist]

Aizek128
у геометрии с визуализацией столько же общего, что и у алгебры с визуализацией:)
Визуализация для науки -- это что-то вроде графического метода для решения ЗЛП

Не боясь показаться заумным, сошлюсь на критику утверждения "поэзия есть мышление образами" представителями формальной школы (Шкловский, Эйхенбаум, Тынянов)

[kp9r4d]

Есть на ютубе серия анимированных роликов 3b1b. Если хочется на картинки посмотреть, то самое оно.

[alcoholist]

kp9r4d в сообщении #1209836 писал(а):

Если хочется на картинки посмотреть, то самое оно.

но это же просто прикол для тех, кто уже врубился)))

[Brukvalub]

Aizek128 в сообщении #1209819 писал(а):

Как думаете нужна ли визуализация для глубокого понимания материала (если возможно визуализировать) ?

Решительно не нужна! Она, наоборот, создает у обучающегося ложное ощущение понимания и способствует "скачкам по верхам".

Aizek128 в сообщении #1209819 писал(а):

Также интересует как вы мысленно интерпретируете/визуализируете понятия абстрактной алгебры(поля, группы, и.т.д).

Ну, например, поле $R$ изображают в виде числовой прямой, поле $C$ - в виде плоскости. Только что толку? Поле замечательно своими операциями, а далеко не все операции поля хорошо отражаются в таких иллюстрациях.

Aizek128 в сообщении #1209819 писал(а):

P.S.S Какая есть литература о том как математики видят понятия и мысленно интерпретируют их.

Какой смысл в такой литературе? Единственно верная для этого вопроса история:
"Древнегреческий царь Птолемей I Сотер, который правил в египетской Александрии, потребовал у объяснявшего ему законы геометрии Евклида сделать это покороче и побыстрее. Тот ответил: «О великий царь, в геометрии нет царских дорог…»
В переводе на современный язык "в математику на кривой козе не въехать".

[alcoholist]

Brukvalub
1) Разве это история не про Александра Великого? Хотя смысл тут, конечно, в том, что царь просил у объяснявшего именно секрета, ибо в те времена подразумевалось, что сложный путь к постижению простых истин -- именно ритуал
2) Разве векторы не носят названия "царского пути"?

-- Вс апр 16, 2017 14:13:55 --

да, погуглил, птолемей

[Munin]

Aizek128 в сообщении #1209819 писал(а):

В каком учебнике можно найти хорошие геометрические интерпретации понятий линейной алгебры (определитель матрицы как объём, СЛУ как набор плоскостей, различная магия с линейными операторами и.т.д).

То, что вы ищете, часто упоминается как "бескоординатные (методы, интерпретация, и т. д.)". То есть, все эти интерпретации возникают, когда люди задаются вопросом "а что будет, если в каких-то ситуациях не вводить базисов и координат?".

alcoholist в сообщении #1209833 писал(а):

у геометрии с визуализацией столько же общего, что и у алгебры с визуализацией:)

Вот такие заявления для меня всегда были странны. Откуда же возникнут идеи и интуиция, если не из визуальных образов? Я думаю, среди математиков немало таких, которые всё-таки пользуются геометрическими образами, но скрывают это по какой-то неписанной математической традиции ("математическая книжка - без картинок, только с формулами", "картинки - только для начинающих студентов").

Немалая часть начального математического образования полна визуальными образами, которые запоминаются на всю жизнь:
- не только школьная геометрия, но даже школьная арифметика и комбинаторика;
- аналитическая геометрия как подготовка к линейной алгебре;
- графики функций в анализе действительной переменной;
- ТФКП...

Даже сам язык, термины, используемые математиками, имеют большую визуальную смысловую нагрузку: непрерывность и гладкость, контур, круг, направление, движение, и так далее. А это значит, их "бытовой" смысл всё время помогает в рассуждениях, пусть и незаметно.

[alcoholist]

Munin
опять сошлюсь на формальную школу...
Рисунок жив пока я его рисую на доске, сопровождая каждое движение мелка словами, которые студенты (надеюсь), воспринимают. Потом кто-то стирает это с доски. И слава богам!
В. А. Рохлин, как говорят свидетели, вообще на доске только изредка буквы писал, обозначающие множества.

Munin в сообщении #1209885 писал(а):

Откуда же возникнут идеи и интуиция, если не из визуальных образов?

а ведь есть и кинестетики
опять сошлюсь на формальную школу... Важны не объекты, а отношения:) категорное определение стрелки содержит как область определения, так и область значений
Вот, положа руку на сердце, какое отношение имеет графический метод решения ЗЛП к симплекс-методу? Что-то проясняет?

[SomePupil]

ТС можно погуглить книжки с надписью geometric approach. Обычно там написано все то же самое, что есть и в обычных книжках, но надпись на обложке заставляет верить читателя в то, что он делает акцент на геометрической составляющей.

[Aizek128]

SomePupil в сообщении #1209891 писал(а):

ТС можно погуглить книжки с надписью geometric approach. Обычно там написано все то же самое, что есть и в обычных книжках, но надпись на обложке заставляет верить читателя в то, что он делает акцент на геометрической составляющей.

А без эффекта плацебо что нибудь есть ?)

[Munin]

alcoholist в сообщении #1209890 писал(а):

опять сошлюсь на формальную школу...

Вы ссылаетесь, но я никаких ссылок не вижу! Я же не знаю, где вашу эту "формальную школу" искать. И даже если такая есть, ну не верю я, что она охватывает 99 % математиков, и соответственно, то, что вы говорите, не является общепринятой математической практикой.

alcoholist в сообщении #1209890 писал(а):

а ведь есть и кинестетики

Вот какую они математику придумывают, не знаю. Я знаю только две: геометрия для (от) визуалов, алгебра для (от) аудиалов.

alcoholist в сообщении #1209890 писал(а):

опять сошлюсь на формальную школу... Важны не объекты, а отношения:)

Не понимаю, при чём тут это вообще.

[SomePupil]

Aizek128, в Гарри Поттере есть такой сюжет, где герой ищет философский камень, а в конце оказывается, что большую часть времени этот камень лежал у него в кармане.

Так вот, геометрический подход, который Вы ищете, лежит прямо у Вас в кармане, в обычных учебниках, которые у Вас всегда под рукой и которые всплывают на первых страницах гугла.

P. S. Вообще, учебник для студентов по линейной алгебре без геометрических образов $-$ это как?

[Odysseus]

alcoholist в сообщении #1209839 писал(а):

kp9r4d в сообщении #1209836 писал(а):

Если хочется на картинки посмотреть, то самое оно.

но это же просто прикол для тех, кто уже врубился)))

Я бы сформулировал иначе. Для тех, кто уже врубился - это прикол. Для тех, кто еще врубается - это прикольно.

[alcoholist]

Munin в сообщении #1209894 писал(а):

Я знаю только две: геометрия для (от) визуалов, алгебра для (от) аудиалов

это так для себя можно классифицировать, а то посыпятся вопросы "а Гильберт аудиал?", "а теорема Нетер визуализируется?"