Задача по планиметрии из жизни.

[Dimoniada]

Дан неподвижный лазерный луч $a$, фиксированная точка $A$ (не лежащая на луче) и два плоских зеркала достаточного размера.

Необходимо расположить зеркала так, чтобы отражённый луч попадал в точку $A$ и при этом угол прихода луча регулировался бы "максимально просто" от углов поворота зеркал относительно некоторых осей ("максимально просто" означает линейно).

[svv]

Луч из лазера обозначен $a$. Обозначим луч после одного отражения $b$, а после двух отражений $c$.
Допустим, нам не надо попадать в точку $A$, а важно лишь направление $c$. Заметьте, что:
$\bullet$ угловая часть задачи автономна: направление $c$ определяется только направлением $a$ и ориентацией зеркал, а от точек, в которых происходит отражение, не зависит;
$\bullet$ угол, характеризующий ориентацию каждого зеркала (или перпендикуляра к нему), и так линейно входит в формулу для направления $c$. По любому.

Так что проблема только в обеспечении попадания в $A$ при том, что допустимы какие-то (надо придумать, какие) повороты зеркал.

[Skeptic]

Расположим параллельно два зеркала, обращённые зеркальными поверхностями друг к другу. Направим луч на одно из зеркал.
Какое направление будет у луча после второго отражения?
Как будет меняться положение отражённого луча при повороте параллельных зеркал?

[Dimoniada]

Skeptic, после второго отражения лучи будут параллельны. При повороте параллельных зеркал последний луч будет смещаться параллельно первому.
svv, "Так что проблема только в обеспечении попадания в $A$ при том, что допустимы какие-то (надо придумать, какие) повороты зеркал." вот это самое интересное.

Я не знаю, может это и не простая задача, но

(Первый шаг решения)

Опустим из точки $A$ перпендикуляр на луч - $AH$. Теперь пусть $A$ и $H$ фокусы некоторого "зеркального изнутри" эллипса. Если мы поставим в фокусе $H$ первое зеркало, которое будет направлять луч $a$ на внутреннюю поверхность эллипса (поворачиваясь относительно Z оси проходящей через $H$ ), то отражённый луч всегда будет приходить в $A$. Но угол "прихода" нелинеен от угла поворота первого зеркала. Попробуем менять и сам эллипс, оставляя его фокусы неподвижными. Будем моделировать отражения от таких разных эллипсов с помощью второго зеркала.

[Skeptic]

Dimoniada в сообщении #1209112 писал(а):

Skeptic, после второго отражения лучи будут параллельны. При повороте параллельных зеркал последний луч будет смещаться параллельно первому.

Луч будет смещаться не только параллельно, но и в плоскости вращения зеркал.


Рассмотрим луч, падающий на зеркало. Независимо от направления луча поворотом зеркала его можно направить в любую точку.
Как математически зависит угол поворота луча от угла поворота зеркала?
Влияет ли направление падающего луча?

[EUgeneUS]

svv в сообщении #1208798 писал(а):

$\bullet$ угловая часть задачи автономна: направление $c$ определяется только направлением $a$ и ориентацией зеркал, а от точек, в которых происходит отражение, не зависит;

Либо чего-то не понимаю, либо одно из двух.

Очевидно, что в любой паре точек на лучах $a$ и $c$ можно разместить зеркала и попасть в $A$ вдоль $c$. А ориентация зеркал будет одинакова только для некоторых пар.

-- 13.04.2017, 17:00 --

Dimoniada
Предлагаю уточнить, что можно, что нельзя

1. "Мертвые зоны" возможны? (тени от объекта или от зеркала)?
2. Рычажные механизмы допустимы?
3. Линейные перемещения (например, червячная передача) допустимы?
4. Зеркала могут быть любого размера или должны быть маленькими ("точечные")?

ИМХО, если на первые три вопроса ответ "нет", то механизм невозможен.

[svv]

EUgeneUS
Я предлагал временно забыть о том, что надо попадать в точку $A$, чтобы это не мешало исследовать, от чего и как зависит направление луча $c$.
Ориентация первого зеркала и ориентация второго зеркала (т.е. углы поворота зеркал) тут рассматриваются как две независимые переменные.

Давайте совсем конкретно. Любому лучу, любому направленному отрезку можно сопоставить полярный угол, или азимут. Пусть $\alpha, \beta, \gamma$ — азимуты лучей $a, b, c$. Пусть $\lambda$ и $\mu$ — азимуты перпендикуляров к плоскостям первого и второго зеркала. Перпендикуляры пускай направлены в ту сторону от зеркала, где падающий и отраженный лучи. Тогда
$\beta=2\lambda-\alpha\pm\pi$
$\gamma=2\mu-\beta\pm\pi$
Вот. И в эти соотношения углы входят, а координаты нет. Только эту простую вещь я и имел в виду.

[EUgeneUS]

svv

Пусть $\alpha = 0$ для удобства
Тогда если подставить одно в другое, получаем
$\gamma=2(\mu-\lambda)$

Теперь накладываем условие, $\gamma$ должна зависеть линейно от какой-то переменной, от времени, или от угла поворота ручки, приводящей в движение весь механизм. Сразу получаем, линейно от этой переменной зависит разность $\mu-\lambda$. Но требование, что линейно зависит и $\mu$, и $\lambda$ - излишне сильное, имхо.

-- 13.04.2017, 19:36 --

Простое, почти тривиальное решение.

Первое зеркало расположено на луче лазера в точке, куда опущен перпендикуляр из $A$.
Второе зеркало равномерно движется по окружности с центром в $A$ и касающейся луча лазера.
Углы поворота зеркал тоже меняются равномерно. Только первое зеркало меняет угол скачком, когда положение второе совпадает с его положением:)

[Dimoniada]

Skeptic, конечно это всё происходит в плоскости (а точнее параллельно поверхности) оптического стола. Задача плоская. При повороте зеркала на угол $\alpha$ луч поворачивается на $2\alpha$, при условии, что луч падает в точку оси вращения зеркала.
EUgeneUS,
1) Мёртвые зоны возможны
2) Рычажные механизмы не допускаются. Там стоят два прецизионных шаговых двигателя, на которых расположены зеркала и всё (было решено, что все передаточные механизмы будут вносить дополнительные погрешности как минимум из-за изменения температуры окр. среды, да и ещё надо их придумывать)
3) Линейные перемещения не допускаются
4) Фактически первое зеркало точечное и стоит там, где я написала. А вот размеры второго зеркала зависят от его расположения.

Вторая часть решения сложнее первой.
P.S.: как мне известно, оптики не "заморачиваются" относительно таких схем. Ставят 2 зеркала исходя из своих соображений, лижбы отражённый луч приходил куда надо. А далее просто калибруют установку: поворачивают первое зеркало на малый угол $\alpha$, смотрят на какой угол $\beta$ надо повернуть второе зеркало, что бы луч опять пришёл в $A$. Измеряют угол прихода $\gamma$ в $A$ относительно первого положения. И запоминают ($\alpha, \beta) \rightarrow \gamma$. Далее процесс продолжается.

[Skeptic]

Можно рассмотреть полусферу с вложенным в неё половиной шара. Плоскость на шаре зеркальная. Полушар в полусфере может только вращаться. Центр вращения не смещается. Если направить луч в центр вращения шара, то линейные перемещения луча исключаются.
Первое зеркало служит для первоначального направления луча на центр второго. В дальнейшем направление луча на точку производится только вращением второго зеркала.

[Dimoniada]

Skeptic нарисуйте Вашу схему в срезе, я нарисую ответ. Название темы подсказывает, что всё это происходит в плоскости :)

(Предполагаемая картинка)

[Skeptic]

Dimoniada
Рисунок будет такой же, но с указанием осей поворота зеркал.
Для первого луча положение оси может быть любое, лишь бы отражённый луч попал на ось вращения второго зеркала. Это обеспечит линейную зависимость угла поворота луча от угла поворота второго зеркала при неподвижном первом зеркале. Угол поворота луча будет в два раза больше угла поворота второго зеркала.

[Батороев]

Dimoniada
А нельзя вовсе отказаться от поворота зеркал, линейно меняя расстояние второго зеркала относительно неподвижного первого вдоль оси, соединяющей их центры?

-- 15 апр 2017 16:36 --

Или хотя бы отказаться от поворота первого зеркала, а управлять поворотом второго вокруг его неподвижной центральной оси?

-- 15 апр 2017 16:40 --

Впрочем,Skeptic второй вариант уже предложил.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Олимпиадные задачи (Ф)»
Причина переноса: несоответствие назначению раздела ПРР. Автор предлагает задачу для других. Ему решение известно.