Задача на экстремум функционала

[Spook]

Общее решение уравнения:
$y(x)=C_1cos(\sqrt{\lambda}x)+C_2sin(\sqrt{\lambda}x)$ начальному условию $y(0)=0$ удовлетворяет только $C_2sin(\sqrt{\lambda}x)$. Подставляем начальное условие $y'(0)=1$ получаем, что

$$СC_2=\frac 1 {\sqrt{\lambda}}$$

.
Подставляем правое начальное условие:
$y'(\pi)=-\frac {\sqrt{2}} 2=cos(\sqrt{\lambda}x)$. Отсюда $\lambda=(-1)^n{\frac 5 6}+2k$ минимальное положительное значение $\frac 5 6$, следовательно $max=\frac 6 5$. Вот, вроде всё.

Добавлено спустя 2 часа 51 минуту 26 секунд:

Немного смущает, что $C_2$ зависит от $\lambda$. Это нормально?

[ewert]

правильно смущает, произвольная постоянная не может зависеть от спектрального параметра, на то она и произвольная.

Откуда Вы начальное условие на производную-то взяли? А на правом конце, наоборот, недоподставили. Посмотрите внимательнее на свои граничные условия.

Подсказка. Уравнение на собственные числа получится трансцедентным, и его решение явно через элементарные функции не выражается. Ну увы.

[Spook]

ewert, получилось $tg(\sqrt{\lambda}\pi)=-\sqrt{\lambda}$, правильно?
P.S. Интересно, можно ли доказать что оно нерешается аналитически?

[ewert]

Spook писал(а):

ewert, получилось $tg(\sqrt{\lambda}\pi)=-\sqrt{\lambda}$, правильно?
P.S. Интересно, можно ли доказать что оно нерешается аналитически?

наверное, можно. Более того, кто-то уж много раз подобные факты доказывал. Только для меня вот принято к сведению, что уравнения типа $x=\tg \alpha x$, или с заменой тангенса на чего там угодно -- явно не решаются. Лично мне этого достаточно.

[Spook]

Ну и мне покачто тоже) в крайнем случае графически можно решить или численно.
Задача решена, спасибо!