какое условие на правую часть
Ну, например, условие

для всех собственных значений

оператора

и экспонент Фурье

для

гарантирует существование и единственность п.п. решения. Естественно, это только лишь достаточное условие. Про необходимое и достаточное условие, отличное от ограниченности, мне неизвестно.
Если раскладывать в ряды Фурье (в том смысле в котором они для п.п. функций) левую и правую части, то получим некоторые условия на коэффициенты. Собственно условие выше, которое я привел по сути о том, что коэффициенты для

не слишком ухудшаются, по сравнению с коэффициентами

. Но сделать какие-то большие выводы я не могу.
Вообще, конечно, здесь есть простой случай. Пусть (для краткости использую ряды по

)

Причем ряд абсолютно сходится, чего можно добиться при соответствующем выборе коэффициентов для

. Тогда непременно

и вопрос сводится к исследованию гладкости функции задаваемой рядом. При этом, гладкость последнего зависит от скорости возрастания

, которые в нашем случае известны, т.к. имеет место совпадение спектров

и

.
Так вот я с использованием уравнения в стартовом посте хотел избавиться от таких вот явных ограничений и рассмотреть ситуацию абстрактно.