Что известно о решении такого УРЧП первого порядка

[demolishka]

Рассмотрим уравнение

$$\sum\limits_{j=1}^{m}\omega_j\frac{\partial}{\partial t_j}h(t_1,\ldots,t_m) = Ah(t_1,\ldots,t_m)+g(t_1,\ldots,t_m),$$

где $A$--- $n \times n$ матрица, $g \colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ --- непрерывна (возможно, даже непрерывно дифференцируема) и 1-периодична по каждой координате, $\omega_1,\ldots,\omega_m \in \mathbb{R}$ --- линейно независимы над полем рациональных чисел.

Ищется непрерывно дифференцируемая функция $h \colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$, $1$-периодичная по каждой координате и удовлетворяющая указанному уравнению.

Я с УРЧП знаком довольно поверхностно. Поэтому, если вопрос слишком простой, то посоветуйте соответствующую литературу.

[Red_Herring]

demolishka в сообщении #1208906 писал(а):

Я с УРЧП знаком довольно поверхностно

Реально, это не УРЧП, а ОДУ вдоль траекторий и пробовать решать его следует именно так. Но фокус в том, что почти никогда периодического решения не будет.

[demolishka]

Давайте я тогда объясню откуда взялось это уравнение. Было исходное уравнение

$$\dot{x} = Ax + f(t),$$

где $f$ почти периодическая (п. п.) функция, и было у него единственное п.п. решение $x$ (непрерывно дифференцируемое). При некоторых условиях можно добиться включения/совпадения спектра $x$ и $f$. Если предположить, что $f$ квазипериодическая с частотами $2\pi \omega_1,\ldots, 2\pi \omega_m$, то и $x$ квазипериодическая с теми же частотами. Тогда $f(t)=g(\omega_1 t,\ldots,\omega_m t)$, где $g$ как выше, непрерывная и 1-периодическая по каждой координате, и $x(t)=h(\omega_1 t,\ldots,\omega_m t)$, где $h$ --- непрерывная 1-периодическая по каждой координате.

Так вот. Я хочу узнать, при каких условиях эта "представляющая" функция $h$ будет гладкой как функция нескольких переменных. Если предположить ее непрерывную дифференцируемость, то подставляя $x(t)=h(\omega_1 t,\ldots,\omega_m t)$ в уравнение и, перейдя от всюду плотной по модулю 1 траектории $(\omega_1 t, \ldots, \omega_m t)$ к произвольным $(t_{1},\ldots,t_m)$, получим уравнение из стартового поста. Далее я хотел воспользоваться какими-нибудь результатами о гладкости решений.

[Red_Herring]

Давайте рассмотрим простейшие случаи: $\dot{x}=f$. Проинтегрируем и что? Если интеграл от $f$ по периоду 0, то ны получим периодическую $x $, причем с произвольной константой. Если нет, то периодических решений нет. Поскольку член $Ax$ можно убрать умножая все на экспоненту, то в 1 мерном случае ответ получен. В многомерном же случае объясните сначала, что понимается под решением.

[demolishka]

Red_Herring в сообщении #1208963 писал(а):

В многомерном же случае объясните сначала, что понимается под решением.

Я не совсем понял какого уравнения, но с учетом того, что их здесь всего два, а для первого я объяснил, то решение этого уравнения

demolishka в сообщении #1208960 писал(а):

$$\dot{x} = Ax + f(t),$$

понимается в классическом смысле: это непрерывно дифференцируемая функция $x \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$, удовлетворяющая уравнению. Вопросы почти периодичности решения $x$ при почти периодичности возмущения $f$ и их связь широко известны (Fink A.M. Almost Periodic Differential Equations). Но это здесь не главное.

Периодический случай совершенно неинтересен, поскольку $x(t)=h(\omega t)$ и гладкость $h$ прямо следует из гладкости решения $x$.

[Red_Herring]

Послушайте, решение ОДУ находится в явном виде. Вопрос: будет ли оно всегда периодическим или п.п. если этим свойством обладает п.ч. Неужели трудно на это ответить? Мнеответ известен, но мне неясно, известен ли он Вам.

[demolishka]

Red_Herring в сообщении #1208992 писал(а):

Вопрос: будет ли оно всегда периодическим или п.п. если этим свойством обладает п.ч.

Решение ОДУ

demolishka в сообщении #1208960 писал(а):

$$\dot{x} = Ax + f(t),$$

(с п.п. $f$)
почти периодично тогда и только тогда когда оно ограничено. Поэтому ответ на Ваш вопрос --- нет. Всегда --- нет, иногда --- возможно.

Red_Herring в сообщении #1208992 писал(а):

находится в явном виде.

Я не понял про явный вид. Вы формулу Коши имеете в виду?

[Red_Herring]

demolishka в сообщении #1209002 писал(а):

почти периодично тогда и только тогда когда оно ограничено. Поэтому ответ на Ваш вопрос: нет.

Это полуответ: вопрос, какое условие на правую часть.

demolishka в сообщении #1209002 писал(а):

Я не понял про явный вид. Вы формулу Коши имеете в виду?

Не обязательно, просто из разложения правой части по частотам

[demolishka]

Red_Herring в сообщении #1209003 писал(а):

какое условие на правую часть

Ну, например, условие $|\mu - i\lambda_k| \geq \rho >0 $ для всех собственных значений $\mu$ оператора $A$ и экспонент Фурье $\lambda_{k}$ для $f$ гарантирует существование и единственность п.п. решения. Естественно, это только лишь достаточное условие. Про необходимое и достаточное условие, отличное от ограниченности, мне неизвестно.

Если раскладывать в ряды Фурье (в том смысле в котором они для п.п. функций) левую и правую части, то получим некоторые условия на коэффициенты. Собственно условие выше, которое я привел по сути о том, что коэффициенты для $x$ не слишком ухудшаются, по сравнению с коэффициентами $f$. Но сделать какие-то большие выводы я не могу.

Вообще, конечно, здесь есть простой случай. Пусть (для краткости использую ряды по $e^{i\lambda t}$)

$$x(t) = \sum\limits_{k=1}^{\infty}A_{k}e^{i \sum\limits_{j=1}^{m}a^{(k)}_{j} 2\pi \omega_{j}t},$$

Причем ряд абсолютно сходится, чего можно добиться при соответствующем выборе коэффициентов для $f$. Тогда непременно

$$h(t_1,\ldots,t_m) = \sum\limits_{k=1}^{\infty}A_{k}e^{i \sum\limits_{j=1}^{m}a^{(k)}_{j} 2\pi t_j}$$

и вопрос сводится к исследованию гладкости функции задаваемой рядом. При этом, гладкость последнего зависит от скорости возрастания $a^{k}_{j}$, которые в нашем случае известны, т.к. имеет место совпадение спектров $x$ и $f$.

Так вот я с использованием уравнения в стартовом посте хотел избавиться от таких вот явных ограничений и рассмотреть ситуацию абстрактно.

[dsge]

demolishka в сообщении #1209005 писал(а):

При этом, гладкость последнего зависит от скорости возрастания $a^{k}_{j}$, к

Может скорости убывания $A_k$?

[demolishka]

dsge в сообщении #1209103 писал(а):

Может скорости убывания $A_k$?

Ну тогда уж от скорости убывания $A_{k}a^{(k)}_{j}$ (после дифференцирования по $t_{j}$). Но на самом деле и это не верно: скорость убывания коэффициентов Фурье для почти периодической функции, вообще говоря, не определяется ее гладкостью (в отличие от коэффициентов Фурье для периодических функций). Но, тем не менее, нужной гладкости можно добиться при подходящей скорости убывания.

[Red_Herring]

Вы же пишите что и $g$ и $h$ должны быть $2\pi$-периодичны по каждой координате (я заменил $1$ на $2\pi$ для простоты обозначений). Тогда
$g=\sum_{\mathbf{k}\in \mathbb{Z}^m} G_{\mathbf{k}} e^{i\mathbf{t} \cdot \mathbf{k}}$ и аналогично $h$ и получаем уравнение

$$(i\mathbf{k}\cdot \mathbf{\omega}- A)H_{\mathbf{k}} =G_{\mathbf{k}}$$

, и все зависит от того (1) являются и с.з. $A$ линейными комбинациями $\omega_1,\ldots,\omega_m$ с целочисленными коэффициентами (2) если нет, то как они аппроксимируются ими.

[demolishka]

Red_Herring, это понятно конечно. У меня в связи с этим такой вопрос. Где можно прочитать про ряды Фурье для векторнозначных функций? В частности, интересует, переносятся ли свойства типа гладкости на асимптотики коэффициентов Фурье для случая периодической на решетке векторнозначной функции, или влияют ли подобные свойства на различного рода сходимость (аналог теоремы Дини).

[Red_Herring]

Векторозначность, разумеется, никакой роли не играет. А вот многомерность аргумента может играть. $L^2$ теория сохраняется, а $C^\nu$ наверно тоже, но не знаю.

[demolishka]

Red_Herring, большое Вам спасибо за дискуссию.