Задача про Сферическое зеркало

[guitar15]

Задача:Найти формулу, связывающую расстояние и от источника до вогнутого зеркала радиуса $R$ с расстоянием $v$ от зеркала до точки А пересечения оси зеркала с лучом, исходящим из источника и отражающимся от зеркала на расстоянии $h$ от оси. Пренебречь членами, содержащими $h$ в степени выше второй.
Я понял, что данная задача связана с сферической аберрацией. Сначала я нарисовал рисунок хода лучей от предмета. Параллельный луч, который идет на высоте $h$, будет отражаться от поверхности зеркала и пересечется с точкой на главной оптической оси которая не является фокусом !!!!
Если у нас не было аберрации, то формула сферического зеркала имела вид:

$$\frac{1}{u}+\frac{1}{x_0}=\frac{2}{R}$$

В нашем случае:

$$\frac{1}{u}+\frac{1}{x_1}=\frac{1}{v}$$

где, $x_0$ и $x_1$-расстояние от предмета до линзы. Я знаю как найти продольную сферическую аберрацию, но не знаю как связать с двумя верхними формулами. Также непонятно как найти расстояние от зеркала до изображения.

-- 11.04.2017, 00:09 --

Расстояние от источника до зеркала $u$!!!!

[svv]

Я думаю, что здесь от Вас требуется такой подход. Забудьте формулы, которые Вы написали. Забудьте, что такое фокус и что он вообще существует. Забудьте, что есть сферические аберрации. Всё, что у Вас есть — сферическое зеркало и источник. Всё, что Вам известно помимо чистой геометрии — «угол падения равен углу отражения».

Далее: ось — это прямая, соединяющая источник и центр сферы. Берём точку на сфере на расстоянии $h$ от оси. Берём падающий луч, соединяющий источник и эту точку, находим для него отражённый луч. Вычисляем, где отражённый луч пересекает ось. Раскладываем результат в ряд по $h$. Если всё сделали правильно, в нулевом порядке (в котором нет зависимости от $h$) сама собой получится известная формула для зеркала. Это критерий правильности. От Вас же хотят второй порядок.

[guitar15]

Непонятно откуда найти расстояние до точки пересечения?

[Pphantom]

guitar15, замечание за дублирование темы из Карантина. Вообще говоря, эту следовало бы закрыть, но раз уж прозевали сделать это вовремя, пусть остается.

[svv]

Ну, Вы же можете найти, из какой точки сферы выходит отражённый луч (из точки сферы, находящейся на расстоянии $h$ от оси), и под каким углом. Стало быть, прямая задана. Надо найти место её пересечения с другой прямой — осью.

Это не то чтобы совсем просто, но и ничего сверхсложного здесь нет. Мне даже тригонометрия не понадобилась. Я могу рассказать, как я выбирал систему координат, но прежде я хотел бы увидеть Ваши попытки решения.

[guitar15]

Я нашел точку пересечения отраженного луча с главной осью. У меня получилось что перпендикуляр опущенный в точку падением и отражения луча совпадает с радиусом зеркала. С рисунком вопросов нет.

Теперь нужно перейти к расчетам и выразить расстояние от точки А к зеркалу через нашу высоту. Для этого я использую теорему синуса, но у меня ничего не получается.

[svv]

Я выбирал систему координат так:

Зелёным показана оптическая ось. Красным показаны радиусы. Чёрным показаны падающий и отражённый лучи.
$O$ — центр сферы и начало координат;
$A$ — источник (пересечение падающего луча и оси);
$B$ — пересечение отражённого луча и оси;
$S$ — пересечение сферы и оси;
$M$ — точка отражения.

Идея в том, чтобы координатная ось $Ox$ была перпендикуляром к зеркалу в точке отражения. Тогда угловые коэффициенты падающего и отражённого лучей будут иметь противоположные знаки, $\pm\lambda$. Обозначим ещё угловой коэффициент оптической оси через $\mu$. Cчитая $\lambda, \mu$ известными, легко записать уравнения лучей и оптической оси и найти координаты $A$ и $B$. Как я говорил, даже синусы-косинусы не понадобятся. На следующем этапе надо исключить $\lambda$ и $\mu$, и получится искомая зависимость.

[guitar15]

Я нашел уравнения прямых и их координаты.
Для точки А получилось:

$$x=\frac{-R}{\mu+\lambda}$$

$$y=\frac{-R \mu}{\mu+\lambda}$$

Для точки B:

$$x=\frac{-R}{\mu-\lambda}$$

$$y=\frac{-R \mu}{\mu-\lambda}$$

Но не понятно как это связать с формулой в ответ к задаче?

$$\frac{1}{v}+\frac{1}{u}=\frac{2}{R}+\frac{h^2}{R^2}(\frac{1}{R}-\frac{1}{u})^2$$

[svv]

Для точки $B$ знаков «минус» в числителе быть не должно. Угловые коэффициенты $\lambda$ и $\mu$ положительны (ведь координата $y$ точек на отражённом луче и оптической оси растёт с ростом $x$), и $\mu>\lambda$ (ведь ось «круче» отражённого луча), а обе координаты $B$ должны быть положительны.

guitar15 в сообщении #1208878 писал(а):

Но не понятно как это связать с формулой в ответ к задаче?

Свет в конце туннеля скоро появится.

Теперь, зная координаты $A$ и $B$, найдите расстояния $OA$ и $OB$.

[guitar15]

Начнем все сначала. Запишем уравнения прямых:
SB - $y=\mu x$;
MB - $y=\lambda x+R$
MA - $y=-\lambda x-R$
С помощью этих уравнений я нашел координаты точек:
Для B

$$x=\frac{R}{\mu-\lambda}$$

$$y=\frac{\mu R}{\mu-\lambda}$$

Для А

$$x=\frac{-R}{\mu+\lambda}$$

$$y=\frac{-\mu R}{\mu+\lambda}$$

Взяв корень квадратный суммы координат соответствующих точек я получил:

$$AO=\frac{R}{\mu-\lambda}\sqrt{1+\mu^2}$$

$$BO=\frac{R}{\mu+\lambda}\sqrt{1+\mu^2}$$

Непонятно, как из этих соображений найти угловые коэффициенты, также, чем помогут нам в решении АО, ОB и высота $h$?

[svv]

Совершенно верно.
А теперь выразите $u$ и $v$ через $R$ и уже известные $AO, BO$:
$\begin{array}{l}u=SA=SO-AO=R-\ldots\\v=SB=\ldots\end{array}$
Пожалуйста, немного терпения. Скоро круг замкнётся. Останется всё, что нужно, и ничего лишнего.

[guitar15]

У меня получилось:

$$u=SA =R-\frac{R}{\mu-\lambda}\sqrt{1+\mu^2}$$

$$v=SB=R+\frac{R}{\mu+\lambda}\sqrt{1+\mu^2}$$

[svv]

Про $SA$ и $SB$ можно больше не вспоминать.
Следовательно, из первого равенства $\mu-\lambda=...$, а из второго $\mu+\lambda=...$. Сложив, исключите $\lambda$.

-- Ср апр 12, 2017 17:01:47 --

Погодите, Вы не перепутали знаменатели в $AO$ и $BO$ здесь?

[guitar15]

У меня получилось:

$$\mu=\frac{R(v-u)\sqrt{1+\mu^2}}{2(R-u)(v-R)}$$

[svv]

guitar15
Я поспешил сказать «совершенно верно», а всмотрелся — куча ошибок. Помимо того, что в $AO$ и $BO$ перепутали знаменатели, ещё и $\lambda$ потеряли в числителях! Это тянется ещё с неверно записанных уравнений лучей. Проверьте, им обоим должна удовлетворять точка $M$ с $x=-R, y=0$, а пока это не так.

В общем, когда исправите всё, то ближайшая цель: исключить $\lambda$. Только, плиз, без ошибок!