Определение одночлена

[Mikhail_K]

Sergei32 в сообщении #1208406 писал(а):

Хотя-бы то, что я скорей всего не понимаю, что есть функция. В моем представлении - это некое правило преобразования некоего диапазона значений чего-либо. Да, под такое представление подходит вышеприведенное выражение, но таким-же макаром под него подойдет и выражение x+1. Значение x преобразуется - увеличивается на единицу. Тут, как мне кажется, все сложнее.

Не понимаю, в чём здесь вопрос.
Да, $f(x)=x+1$ есть функция, потому что каждому $x$ ставит в соответствие что-то ещё (однозначно этим самым $x$ определяемое).
Что здесь сложнее?

[Munin]

Понятие "функция" для школьника и вправду довольно сложное, и знакомиться с ним стоит постепенно. Когда ему будут знакомы многие примеры функций, он сможет их обобщить и интуитивно понимать.

Начинать можно с простых функций, заданных формулами. Формулы просто дают способ вычисления функции в любой числовой точке: мы подставляем вместо переменной число (или вместо переменных - числа), и проводим вычисления. Например, многочлены - это как раз такие функции.

Вместе с этим, функцию можно задать как график (хотя если нарисовать график от руки, то это будет несколько приблизительно; в идеале здесь понимается график как геометрическая бесконечно тонкая линия). Или её можно задать таблицей значений. Или алгоритмом вычисления - это основная идея функции в программировании.

Если обсуждать разные формулы, то на каком-то этапе становится понятно, что они хоть и устроены сложно, но в некоторых аспектах напоминают числа. И точно так же, как от идеи простой дроби или конечной десятичной дроби мы приходим к бесконечной десятичной дроби, можно представить себе функции, которые потребовали бы "бесконечной формулы" для записи. Во всём остальном они вполне нормальны: у них может быть график, они позволяют вычислять ответ в каждой точке с некоторой точностью, причём можно увеличивать точность, продолжая вычисления. (Это похоже, например, на вычисление квадратного корня, или другого целого корня.) Более того, несколько видов таких типовых "бесконечных формул" отдельно обсуждается в математике: это, например, ряды и цепные дроби. Ещё, по сути, к ним относятся, но в таком виде не всегда записываются, например, интегралы и специальные функции. И даже школьные функции "синус" и "косинус" - тоже не могут быть записаны в виде формулы, поэтому для них и вводят специальные обозначения.

И вот наконец, всё это можно обобщить в идею, что функция вообще как-то ставит в соответствие числу - число. (Или элементу множества $X$ - элемент множества $Y.$) Это очень общая идея, и поэтому довольно сложная в обращении. При таком широком понимании, функциями становятся многие "патологические примеры", например, для которых нельзя нарисовать от руки график. (Например, функция Дирихле - функция, которая принимает значение 1, если её аргумент рациональный, и значение 0, если её аргумент иррациональный.) Навыки работы с функциями, полученные раньше, здесь часто отказывают. Вместо "натоптанной тропинки" вы оказываетесь посреди "топкого болота". Многому надо учиться заново, и прежде всего - тщательно обосновывать каждый шаг своих рассуждений и вычислений. Но рядом есть и "сухая почва": можно оговорить, что мы имеем дело не с любыми функциями, а с теми или иными "хорошими" (есть несколько их разновидностей).

[Aritaborian]

Munin в сообщении #1208446 писал(а):

И вот наконец, всё это можно обобщить в идею, что функция вообще как-то ставит в соответствие числу - число. (Или элементу множества $X$ - элемент множества $Y.$) Это очень общая идея, и поэтому довольно сложная в обращении.

Это как раз очень простая идея. Вот когда мы начнём говорить о подмножестве декартова произведения, кое-каким хитрым образом ограниченным, можно будет уже сказать, что это сложная в обращении идея. Да и то — не особо.

[Munin]

Простая, пока её произносишь. Сложная в обращении - я написал, почему. Ещё можно заглянуть в лямбда-исчисление, ужаснуться и закрыть обратно.

[arseniiv]

Не надо ужасаться, оно милое. И при этом только вершина айсберга.

[Sergei32]

Xaositect в сообщении #1208403 писал(а):

Все просто на самом деле
Многочлены - это то, что можно получить из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания и умножения.
Рациональные функции - это то, что можно получить из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения и деления.
Одночлены - это то, что можно получить из чисел и переменных с помощью умножения.

Вроде бы стало понятнее. Т.е. многочлен - сумма произведений чисел и/или переменных, переводимая в то, что называется "стандартным видом" без необходимости применения деления (а соотв. - не содержащая отрицательных степеней).
А вот есть же в математике еще нахождения корня и многое другое - а корни из каких-либо чисел - могут входить в многочлен?

[arseniiv]

Sergei32 в сообщении #1208661 писал(а):

переводимая в то, что называется "стандартным видом" без необходимости применения деления

Это к делу не относится. Важно, чтобы деление не использовалось при получении. Что мы там выберем каноническим представителем, и как его будем получать из остальных — не очень-то. Главное, чтобы мы знали, какие из них каким эквивалентны (и определяется это совершенно естественным образом как равенство соответствующих функций, разве что нужно одинаковым образом связать номера аргументов функций со всеми переменными, которые входят в сравниваемые мономы).

Sergei32 в сообщении #1208661 писал(а):

А вот есть же в математике еще нахождения корня и многое другое - а корни из каких-либо чисел - могут входить в многочлен?

Когда корень из числа существует — это число. Корни из переменных вот входить не могут, потому что в многочлене, как уже писалы выше, нужны только целые неотрицательные степени переменных.

[Munin]

Тут весь вопрос в том, какие числа разрешены.

Бывают многочлены над целыми числами - это такие, что их коэффициенты обязаны быть целыми.
Бывают многочлены над рациональными числами - аналогично.
Бывают многочлены над алгебраическими числами.
Бывают многочлены над действительными числами.
Бывают многочлены над комплексными числами.
И это, в принципе, только примеры разных возможностей, потому что можно рассмотреть многочлены над любым кольцом. (Кажется, только над коммутативным...)

По-хорошему, это надо уточнять. В школе без уточнений - подразумевают над действительными.

[Sergei32]

Ну, про то, что многочлен есть такое выражение, которое вычисляется только через сложение и умножение его составляющих - это мне понятно.

А вот последнее сообщение Munin-а мне не понятно. Кроме того, что у меня нет тех знаний, которые необходимы для такого понимания. То говорится, что многочлены могут иметь только одно, то они оказывается могут иметь то, что разрешено - а разрешно может быть еще куча всего...

Хм, так, тогда вопрос такой - в чем, если простыми словами без высшей математики, идея многочлена?:roll:
Насколько понимаю, в математике любая сущность отвечает одной из или двум характеристиками - практически необходимо для непосредственного использования чего-либо или оно интересно из-за чего-либо абстрактного. Вот и многочлены - что в них такого, зачем они?

[Munin]

Это просто всё разновидности многочлена. Отличаются они только тем, что там разрешено подставлять в качестве чисел.

Sergei32 в сообщении #1208712 писал(а):

Хм, так, тогда вопрос такой - в чем, если простыми словами без высшей математики, идея многочлена?:roll:

Ну как же это без высшей? :-)

Идея многочлена - это некое формальное выражение. С которым мы можем как-то работать. Иногда можем придавать ему какой-то смысл, но не обязательно. С ним и формально интересно поиграть.

Сравните: можно рассматривать формальные строки цифр. Не задумываться никак, что это изображения чисел. И ввести некие правила игры, типа правил сложения в столбик. А потом уже сказать "назовём это числами".

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Я в восхищении этим троллингом 80-го левела! Три стр. выяснять, что есть одночлен, но упорно делать вид, что ничего непонятно, где бы мне так научиться?

[Sergei32]

Munin, спасибо. На этом, пожалуй, я пока возьму тайм-аут и остановлюсь на приведенном мною определении, если оно корректно. Как сказал один неглупый киногерой - "Вы спрашиваете о том, как работают часы, а пока надо просто следить за временем" )

Brukvalub в сообщении #1208720 писал(а):

(Оффтоп)

Я в восхищении этим троллингом 80-го левела! Три стр. выяснять, что есть одночлен, но упорно делать вид, что ничего непонятно, где бы мне так научиться?

Вы немного преувеличиваете мои заслуги. Однако - всегда пожалуйтса - учитесь, пока есть люди, не разбирающиеся в математике настолько, чтоб не было шансов возникновения никаких вопросов по какому-либо ее понятию ; )

[Munin]

Sergei32 в сообщении #1208712 писал(а):

Ну, про то, что многочлен есть такое выражение, которое вычисляется только через сложение и умножение его составляющих - это мне понятно.

И вычитание не забывайте. (Впрочем, если вы готовы умножать на отрицательные числа, то не обязательно.)

[prohodjawii]

А мне всё-равно не понятно, почему отрицательные степени не разрешены, а коэфициент одна третья (к примеру) разрешён. Ведь по сути 1/3 - это 3 в -1 степени. И любой x или y (z, ...) может быть таким же числом.

-- 02.12.2020, 11:16 --

Mikhail_K в сообщении #1208304 писал(а):

Sergei32 в сообщении #1208263 писал(а):

и меня мучает вопрос - почему одночлен не может включать в себя отрицательные степени? Может кто-нибудь сможет помочь это понять?...

Ну, определение такое, и всё.
Чтобы не называть потом дробно-рациональные функции типа $x^2+x^{-2}$ многочленами.
Потому что их проще представлять в виде отношения настоящих многочленов: $x^2+x^{-2}=\frac{x^4+1}{x^2}$.

Вообще. Конечно, иногда интересно бывает понять, почему определение именно такое, а не другое, но мучить это не должно. Это не тот вопрос, на который можно найти однозначный ответ. Может, просто исторически так сложилось.

Лично я здесь вижу многочлен и деление многочлена на одночлен, результатом которого и стал первый по тексту многочлен.

Я не понимаю, что плохого в выражении $x^2+x^{-2}$, если при этом мы допускаем, что $x$ может быть равен $=\frac{1}{2}$

[Mikhail_K]

prohodjawii в сообщении #1494833 писал(а):

Я не понимаю, что плохого в выражении $x^2+x^{-2}$

Да ничего плохого нет, просто это не многочлен.
Многочлены отличаются по ряду свойств от не-многочленов.
Например, любой многочлен (настоящий, без отрицательных степеней при $x$, хотя, возможно, и с дробными коэффициентами) имеет производную некоторого порядка, тождественно равную нулю, а для не-многочленов это не так.
Например, любой многочлен от одной переменной можно однозначно (с точностью до числового множителя) разложить на линейные множители (возможно, с комплексными коэффициентами), а для не-многочленов это опять же не так.

prohodjawii в сообщении #1494833 писал(а):

Лично я здесь вижу многочлен

Вы видите, а математики не видят. $x^2+x^{-2}$ - не многочлен. Определение многочлена подразумевает целые неотрицательные степени при $x$. Вот такое определение. И оно удобное и полезное. Будете изучать математику - постепенно поймёте, в чём удобство и польза.