функан, функционал в гильбертовом пространстве

[ewert]

zoo писал(а):

ewert писал(а):

потому, что мы отрубили его нули

из того, что ядро равно нулю не следует что оператор взаимнооднозначен

Ну что Вы. Он же линеен.

[zoo]

ewert писал(а):

Ну что Вы. Он же линеен.

а Вы что этого не знали? Пожалуйста определим оператор $A:L^2[-1,1]\to L^2[-1,1]$ так $(Au)(x)=u(2x)$, если $|x|<1/2$ и
$(Au)(x)=0$ если $ 1/2<|x|<1$ Ядро равно нулю, но уравнение $Au=1$ неразрешимо

[ewert]

имеется в виду, разумеется, обратимость как оператора, связывающего свою область определения с множеством значений. Ваш контрпример (вникать нет времени, извините) к необратимости отношения иметь не может; он может доказывать лишь, что множество значений не замкнуто. Ну и что, что не замкнуто.

[zoo]

ewert писал(а):

имеется в виду, разумеется, обратимость как оператора, связывающего свою область определения с множеством значений.

а почему тогда Вы утверждаете, что обратим оператор связывающий область определения с ЗАМЫКАНИЕМ области значений?

ewert писал(а):

Так вот, рассмотрим такую пару гильбертовых пространств: $H_1=({\rm Ker\,}A^*)^\perp=\overline{{\rm Im\,}A}$ и $H_2=({\rm Ker\,}A)^\perp=\overline{{\rm Im\,}A^*}$. Оператор $A^*$ взаимно-однозначно переводит пространство $H_1$ в $H_2 $, оператор $A$ -- наоборот. При этом оператор $A^*$ по-прежнему остаётся сопряжённым к $A$ в стандартном смысле.

[ewert]

Естественный жаргон. Я аккуратно сказал, что тот оператор переводит "в"; это вовсе не значит, что "на" -- это как правило и неверно.

[zoo]

ewert писал(а):

Естественный жаргон. Я аккуратно сказал, что тот оператор переводит "в"; это вовсе не значит, что "на" -- это как правило и неверно.

сказать глупость может любой, разумней это признавать сразу и честно:lol:

ewert писал(а):

В условии задачи требуется, чтобы неравенство $(x,y)\leqslant C_y\Vert A^*x\Vert$ выполнялось для всех $x\in H_1$. Т.е. должно выполняться $({(A^*)}^{-1}u,y)\leqslant C_y\Vert u\Vert\ (\forall u\in{\rm Im\,}A^*)$. Последнее в точности означает, что $y$ принадлежит области определения оператора, сопряжённого к ${(A^*)}^{-1}$

вопрос: почему сопряженный к ${(A^*)}^{-1}$ существует? на каком множестве он определен?

ps я бы Вам вообще не советовал париться над этой задачей дальше,
если бы так легко было написать необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения $Ax=y$ то в анализе была бы сладкая жизнь

[ewert]

zoo писал(а):

вопрос: почему сопряженный к ${(A^*)}^{-1}$ существует?

ответ: потому, что этот оператор плотно определён

[zoo]

ewert писал(а):

ответ: потому, что этот оператор плотно определён

ok

ewert писал(а):

В условии задачи требуется, чтобы неравенство $(x,y)\leqslant C_y\Vert A^*x\Vert$ выполнялось для всех $x\in H_1$. Т.е. должно выполняться $({(A^*)}^{-1}u,y)\leqslant C_y\Vert u\Vert\ (\forall u\in{\rm Im\,}A^*)$.
Последнее в точности означает, что $y$ принадлежит области определения оператора, сопряжённого к ${(A^*)}^{-1}$

почему $y$ принадлежит области определения оператора, сопряжённого к ${(A^*)}^{-1}$?

[ewert]

по определению сопряжённого оператора. По определению, элемент игрек принадлежит области определения сопряжённого, если линейный функционал, задаваемый им и исходным оператором, ограничен.

[zoo]

ewert писал(а):

по определению сопряжённого оператора. По определению, элемент игрек принадлежит области определения сопряжённого, если линейный функционал, задаваемый им и исходным оператором, ограничен.

а это где такое определение?

пока предлогаю определение из учебника по функану Иосиды.
должен существоваать и притом единственный
элемент $v$ такой, что
$\forall u\in{\rm Im\,}A^*$ имеем
$({(A^*)}^{-1}u,y)=(u,v)$.
Боюсь, что Вам придется доказать, что элемент $v$ существует и единственен.

[ewert]

zoo писал(а):

ewert писал(а):

по определению сопряжённого оператора. По определению, элемент игрек принадлежит области определения сопряжённого, если линейный функционал, задаваемый им и исходным оператором, ограничен.

а это где такое определение?

пока предлогаю определение из учебника по функану Иосиды.
должен существоваать и притом единственный
элемент $v$ такой, что
$\forall u\in{\rm Im\,}A^*$ имеем
$({(A^*)}^{-1}u,y)=(u,v)$.
Боюсь, что Вам придется доказать, что элемент $v$ существует и единственен.

Честно, не помню такого учебника. Однако ув. Иосиду Вы явно оклеветали (а он воистину ув.). Ибо по-вашему получается, что, с точки зрения ув. Иосиды, сопряжённый оператор не может быть определён никак иначе, как опираясь на определение того самого что ни на есть сопряжённого оператора.

Это было бы воистину грустно. Но, к счастью, всё далеко не так трагично.

[zoo]

ewert писал(а):

Честно, не помню такого учебника. Однако ув. Иосиду Вы явно оклеветали (а он воистину ув.). Ибо по-вашему получается, что, с точки зрения ув. Иосиды, сопряжённый оператор не может быть определён никак иначе, как опираясь на определение того самого что ни на есть сопряжённого оператора.

почему? в том определении, которое я привел, ''элемент $v$ по определению является образом элемента $y$ при действии сопряженного оператора.

ewert писал(а):

Это было бы воистину грустно. Но, к счастью, всё далеко не так трагично.

я был бы рад если бы Вы это доказали, и совершенно искренне готов сотрудничать, я не стремлюсь обнаружить Ваше незнание чего-либр, но я в это утверждение не верю больше, поэтому буду играть роль скептика. Давайте обсуждать вопрос по-существу.

что касается учебника Иосида "Функциональный анализ" Москва 1967 стр 269

[ewert]

zoo писал(а):

почему? в том определении, которое я привел, ''элемент $v$ по определению является образом элемента $y$ при действии сопряженного оператора.

Да понимаете, в Вашем определении область определения сопряжённого оператора определяется через сам этот оператор, предполагаемый уже определённым. Вы не находите это странным?

[zoo]

ewert писал(а):

zoo писал(а):

почему? в том определении, которое я привел, ''элемент $v$ по определению является образом элемента $y$ при действии сопряженного оператора.

Да понимаете, в Вашем определении область определения сопряжённого оператора определяется через сам этот оператор, предполагаемый уже определённым. Вы не находите это странным?

во-первых определение не мое, ссылку я дал. Во-вторых Вы не правильно поняли написанное. Еще раз неформально. Предположим что для всех $x$ существует и единственый элемент $w,\quad w=w(y)$ такой что $(Tx,y)=(x,w)$ Те $y$ для которых это верно составляют область определения сопряженного оператора, а сам он по определению равен $T^*y=w$ Не тормозите

[ewert]

zoo писал(а):

ewert писал(а):

Да понимаете, в Вашем определении область определения сопряжённого оператора определяется через сам этот оператор, предполагаемый уже определённым. Вы не находите это странным?

Во-первых это не мое определение ссылку я уже дал. Во-вторых Вы просто не правильно поняли написанное. Еще раз, неформально.
Предположим, что существует и притом единственный элемент $w$ такой что равенство $(Tx,y)=(x,w)$ выполнено для всех $x$ тогда по определению $T^*y=w$ Так определяется сопряженный оператор на элементе $y$
Не тормозите!

Меня что удивляет: ведь есть же уже давно (всяко ранее 67-го) установившееся, вполне общепринятое и естественное определение. Звучит оно примерно так.

Допустим, есть у нас банахово пространство (как частный случай -- гильбертово). И есть некий оператор $A$, действующий в некое другое банахово (а как частный случай -- в то же или другое гильбертово). Этот оператор может быть ограничен или нет, не суть, но что важно -- что он должен быть плотно определён.

Теперь берём выражение вида $(Ax,y)$, под которым может пониматься или значение линейного функционала $y$, т.е. некоего элемента сопряжённого пространства, или в гильбертовом случае попросту скалярное произведение. Этот функционал может оказаться или ограниченным, или нет.

Если он неограничен, то отправляем $y$ фтопку. В противном случае объявляем его элементом области определения сопряженного оператора, а значением сопряжённого оператора на нём объявляем элемент сопряжённого пространства (соотв., эл-т гильбертова пространства) $z\equiv A^*y$, который задаёт тот функционал по формальному правилу $(Ax,y)=(x,z)$.

И уже только потом доказывается, что этот самый элемент $z$ и, соответственно, сам оператор $A^*$ определяются однозначно.

--------------------------------------------------------------------
Для Вас что, всё это и впрямь внове? -- честно говоря, трудно поверить.