доказать

[Trotil]

незваный гость
Я об этом написал.
Просто используем другое неравенство на другом интервале.

[Brukvalub]

Можно еще так рассуждать:
Рассмотрим два вектора

\[ \vec a = (\sin x\,;\;\cos x)\;;\;\vec b = (1\,;\;\cos (8x)) \]

, в задаче требуется исследовать максимум их скалярного произведения, которое не превосходит произведения длин этих векторов. Далее - ясно.