2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 01:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Помогите, пожалуйста, разобраться с несколькими вопросами, которые у меня есть в связи со свойствами дельта-функции. Все сразу их выдавать не стану. Уровень познаний в этой теме у меня такой (не впечатляющий, прямо скажем). Я в курсе, что обобщённые функции - это функции только по названию, а на самом деле это линейные функционалы. Основные свойства вроде $\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)$, $a\neq 0$ мне известны, применять доводилось неоднократно.

В электростатике иногда приходится записывать объёмную плотность заряда для случаев, когда заряд распределён "одномерно" (например, нить или кольцо какое-нибудь). И тогда без особых реверансов пишут, например, для нити $\rho=\lambda \delta(x)\delta(y)$, где $\lambda$ - линейная плотность заряда (координаты обычные декартовы). Но вроде бы с умножением у обобщённых функций не всё так просто... В такой записи ведь не подразумевается произведение дельта-функций? А как её тогда понимать формально?

P.S. Возможно, стоило бы тему поместить в физический раздел, но начать решил отсюда.

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 02:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8340
Цюрих
Подразумевается. Обобщенные функции нельзя перемножать как обычные, но можно перемножать тензорно (произведение двух одномерных дает двумерную, например): $(\varphi(x)\cdot \xi(y))(f(x,y)) = \varphi(x)(\xi(y)(f(x,y)))$.
Для каждого $x$ получаем функцию $f(x, y)$ переменной $y$, применяем к этой функции $\xi$ - получаем число. Таким образом получаем функцию одной переменной $x$. Доказываем, что она принадлежит пространству пробных функций, и поменяем к ней $\varphi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 02:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Обобщенные функции разных переменных можно перемножать. Формально:, пусть $u$ и $v$ обобщенные функции $m$-мерной и $n$-мерной переменных $x$ и y. Тогда их произведение надо определить на основной функции $m+n$ переменных $\phi(x,y)$: $(u\otimes v) (\phi) = u (v (\phi_{(x)} ))$, где $\phi_{(x)}$ рассматривается при фиксированной $x$ как основная функция переменной $y$ и доказывается, что $v (\phi_{(x)})$ будет основной функцией переменной $x$

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 02:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
mihaild, Red_Herring, спасибо.

И в таком же смысле следует понимать равенство
$$\delta(\vec{r})=\delta(x)\delta(y)\delta(z)?$$

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 02:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Metford в сообщении #1206088 писал(а):
И в таком же смысле следует понимать равенство

Да, как повторное тензорное произведение.

Есть ещё случаи, когда можно определить произведение обобщенных функций (distributions), но это достаточно сложно. И, разумеется, мы говорим о нормальном произведении с нормальным результатом, не в смысле извращений обсуждаемых здесь

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 02:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Red_Herring в сообщении #1206091 писал(а):
И, разумеется, мы говорим о нормальном произведении с нормальным результатом, не в смысле извращений обсуждаемых здесь

Конечно. Если что, то тема вовсе не навеяна той, ссылку на которую Вы привели. Чистое совпадение. Дело в том, что я столкнулся с преобразованием, которое мне никак не удаётся провести правильно. Похоже, делаю какую-то глупую ошибку. Заодно решил разъяснить одно старое недоумение. С Вашей помощью удалось.

Теперь другой вопрос. Допустим, хочу я записать всё ту же объёмную плотность заряда для кольца, но не в естественных для этого случая цилиндрических координатах, а в прямоугольных. Делаю так (дельта-функцию от $z$ для краткости не пишу):
$$\lambda\delta(r-R)=\lambda\delta(\sqrt{x^2+y^2}-R)=\lambda\delta\left(\frac{x^2+y^2-R^2}{\sqrt{x^2+y^2}+R}\right)=2R\lambda\delta(x^2+y^2-R^2).$$
Я всё законно делаю здесь?

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 03:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Metford в сообщении #1206092 писал(а):
Я всё законно делаю здесь?

Да. Только Вы должны понимать, что означает самая последняя дельта, другими словами, как делать замену переменных в обобщенных функциях (и какие замены законны).

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 03:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Red_Herring в сообщении #1206094 писал(а):
как делать замену переменных в обобщенных функциях (и какие замены законны)

А можно здесь немного подробнее? Или хотя бы где об этом прочитать? Мне кажется, что именно в этом месте у меня пробел. Потому что следующий шаг - аналогичное вычисление для эллипса. Там в полярных координатах по-прежнему всё тривиально пишется, но при переходе к декартовым координатам у меня получается не то, что нужно. Видимо, моя проблема в том, что в уравнение эллипса явно входит и радиус $r$, и полярный угол, которого в случае окружности не было, из-за чего задача становилась тривиальной.

Я считал, что могу аналогично вынести из аргумента дельта-функции множитель, который внутри аргумента содержит две переменные - но при вынесении следует учесть соотношение, определяющее носитель дельта-функции (в данном случае уравнение эллипса). Если непонятно выразил мысль, могу выкладку привести.

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 12:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Основные операции над обобщенными функциями определяются таким образом, чтобы в случае обычных функций они определялись обычным образом.

Рассмотрим сначала умножение на: если $u$ о.ф., $f$ гладкая ф., $\phi$ основная , то $( fu)(\phi):= u(f\phi)$

Теперь замена: $\varphi$ гладкое отображение: $(u\circ \varphi^{-1})(\phi)= |\det D\phi| u (\phi \circ \varphi)$. Вообще-то $\phi \circ \varphi$) гладкая, но там могут быть проблемы с носителем. Да, $D\phi$ матрица Якоби. Поэтому для простоты можно предположить, что $u$ имеет компактный носитель.

Ну, а к нашим баранам : что Вы с эллипсом хотите?

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 14:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Насчёт замены вроде понял.

От эллипса я вот что хотел бы. Допустим, беру я уравнение эллипса в таком виде (в полярных координатах): $r=\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon^2\cos^2\varphi}}$ ($\varepsilon$ - эксцентриситет). Вид нестандартный, но более удобный в данном случае, как мне представляется. Объёмная плотность заряда тонкого эллиптического кольца
$$\rho=\lambda\delta\left(r-\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon^2\cos^2\varphi}}\right).$$
И теперь хотелось бы проделать ту же процедуру, что и выше для кольца в форме окружности, т.е. умножить аргумент на такое же выражение, только с плюсом ($r+\frac{b}{...}$) - тогда дельта-функцию нужно умножить на $2r$:
$$\rho=2r\lambda\delta\left(r^2-\frac{b^2}{1-\varepsilon^2\cos^2\varphi}\right).$$
А дальше переходить к декартовым координатам всюду. Только мне кажется, что я допускаю в последнем переходе ошибку. Или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 14:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Metford в сообщении #1206164 писал(а):
Объёмная плотность заряда тонкого эллиптического кольца

А почему такая? И к предыдущему тоже вопросы.

1) Вы говорите "объемная плотность" но пишете дельту одного переменного. Что обозначают Ваши переменные вообще? Какая размерность?

2) Если у нас есть плоскость и что-то вроде дельты, сосредоточенной на прямой $x=0$, to ona budet $\lambda(y)\delta (x)$, и множитель может быть любым. Аналогично с кривыми. У Вас $\lambda$ константа, или как? С окружностью в силу симметрии я бы согласился, а вот с эллипсом? Если эллипс диэлектрик, то плотность заряда Вы сами задаете, а если проводник, то как получится.

Аналогично, с кривыми в пространстве и с поверхностями в нём же.

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В Википедии приведено выражение
    $\delta(f(x))=\dfrac{\delta(x-x_0)}{|f'(x_0)|},$
где $x_0$ - простой нуль $f(x)$ (если их много, то суммирование по таким нулям).

Я так понимаю, вопрос в том, на какое выражение это заменяется в пространстве нескольких переменных, и насколько обоснованно им можно пользоваться / какие ограничения и условия возникают при его использовании.

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 14:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Red_Herring в сообщении #1206175 писал(а):
1) Вы говорите "объемная плотность" но пишете дельту одного переменного. Что обозначают Ваши переменные вообще? Какая размерность?

Metford в сообщении #1206092 писал(а):
дельта-функцию от $z$ для краткости не пишу

Полностью будет так: $\rho=\lambda\delta(r-R)\delta(z)$ - пишу для окружности, чтобы покороче получалось. Обе дельты дают по одной обратной размерности длины, $\lambda$ - линейная плотность заряда - тоже выше упоминал - константа, размерность "заряд на длину". Результирующая размерность - заряд на длину в кубе, как положено.
Red_Herring в сообщении #1206175 писал(а):
У Вас $\lambda$ константа, или как? С окружностью в силу симметрии я бы согласился, а вот с эллипсом? Если эллипс диэлектрик, то плотность заряда Вы сами задаете, а если проводник, то как получится.

Речь идёт о некотором распределении зарядов, которое не меняется со временем. Почему это так - неважно. (Случай проводника, конечно, можно исключить из возможных вариантов.) Я могу формально для этого случая записать объёмную плотность заряда.

Munin в сообщении #1206176 писал(а):
Я так понимаю, вопрос в том, на какое выражение это заменяется в пространстве нескольких переменных, и насколько обоснованно им можно пользоваться / какие ограничения и условия возникают при его использовании.

Фактически, да. Тут ведь две независимые переменные. А с другой стороны, уравнение, задающее носитель, уже делает их не такими уж независимыми...

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 15:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Metford в сообщении #1206164 писал(а):
Объёмная плотность заряда тонкого эллиптического кольца
$$\rho=\lambda\delta\left(r-\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon^2\cos^2\varphi}}\right).$$

А вот это, кстати, плохо.

С эллипсом надо аккуратнее, на него можно нанести разную плотность. Та, которую вы привели, - наиболее странная. На пальцах, она присваивает одинаковые заряды одним и тем же угловым участкам $d\varphi.$

Можно "покрасить" эллипс равномерной линейной плотностью. Но это ещё неестественней.

Наиболее естественными плотностями на эллипсе будут те, которые получаются из плотностей, скажем, эллиптического кольца, с шириной, стремящейся к нулю. (Внутри кольца плотность равномерная.) Тут можно взять два варианта: либо софокусные эллипсы, либо подобные эллипсы. В одном случае, заряд будет больше на "боках", в другом - на "остриях".

 Профиль  
                  
 
 Re: О некоторых свойствах дельта-функции
Сообщение03.04.2017, 15:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Metford в сообщении #1206177 писал(а):
$\lambda$ - линейная плотность заряда - тоже выше упоминал - константа, размерность "заряд на длину".
Тогда с окружностью все ОК, но только по той причине, что элемент длины окружности это $rd\varphi$, а элемент площади $rd\varphi dr$. А у эллипса надо домножать первоначальную плотность на $ds/rd\varphi
$, где $ds$ элемент длины эллипса, параметризованного углом. И тот же множитель далее везде

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group