О некоторых свойствах дельта-функции

[Metford]

Помогите, пожалуйста, разобраться с несколькими вопросами, которые у меня есть в связи со свойствами дельта-функции. Все сразу их выдавать не стану. Уровень познаний в этой теме у меня такой (не впечатляющий, прямо скажем). Я в курсе, что обобщённые функции - это функции только по названию, а на самом деле это линейные функционалы. Основные свойства вроде $\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)$, $a\neq 0$ мне известны, применять доводилось неоднократно.

В электростатике иногда приходится записывать объёмную плотность заряда для случаев, когда заряд распределён "одномерно" (например, нить или кольцо какое-нибудь). И тогда без особых реверансов пишут, например, для нити $\rho=\lambda \delta(x)\delta(y)$, где $\lambda$ - линейная плотность заряда (координаты обычные декартовы). Но вроде бы с умножением у обобщённых функций не всё так просто... В такой записи ведь не подразумевается произведение дельта-функций? А как её тогда понимать формально?

P.S. Возможно, стоило бы тему поместить в физический раздел, но начать решил отсюда.

[mihaild]

Подразумевается. Обобщенные функции нельзя перемножать как обычные, но можно перемножать тензорно (произведение двух одномерных дает двумерную, например): $(\varphi(x)\cdot \xi(y))(f(x,y)) = \varphi(x)(\xi(y)(f(x,y)))$.
Для каждого $x$ получаем функцию $f(x, y)$ переменной $y$, применяем к этой функции $\xi$ - получаем число. Таким образом получаем функцию одной переменной $x$. Доказываем, что она принадлежит пространству пробных функций, и поменяем к ней $\varphi$.

[Red_Herring]

Обобщенные функции разных переменных можно перемножать. Формально:, пусть $u$ и $v$ обобщенные функции $m$-мерной и $n$-мерной переменных $x$ и y. Тогда их произведение надо определить на основной функции $m+n$ переменных $\phi(x,y)$: $(u\otimes v) (\phi) = u (v (\phi_{(x)} ))$, где $\phi_{(x)}$ рассматривается при фиксированной $x$ как основная функция переменной $y$ и доказывается, что $v (\phi_{(x)})$ будет основной функцией переменной $x$

[Metford]

mihaild, Red_Herring, спасибо.

И в таком же смысле следует понимать равенство

$$\delta(\vec{r})=\delta(x)\delta(y)\delta(z)?$$

[Red_Herring]

Metford в сообщении #1206088 писал(а):

И в таком же смысле следует понимать равенство

Да, как повторное тензорное произведение.

Есть ещё случаи, когда можно определить произведение обобщенных функций (distributions), но это достаточно сложно. И, разумеется, мы говорим о нормальном произведении с нормальным результатом, не в смысле извращений обсуждаемых здесь

[Metford]

Red_Herring в сообщении #1206091 писал(а):

И, разумеется, мы говорим о нормальном произведении с нормальным результатом, не в смысле извращений обсуждаемых здесь

Конечно. Если что, то тема вовсе не навеяна той, ссылку на которую Вы привели. Чистое совпадение. Дело в том, что я столкнулся с преобразованием, которое мне никак не удаётся провести правильно. Похоже, делаю какую-то глупую ошибку. Заодно решил разъяснить одно старое недоумение. С Вашей помощью удалось.

Теперь другой вопрос. Допустим, хочу я записать всё ту же объёмную плотность заряда для кольца, но не в естественных для этого случая цилиндрических координатах, а в прямоугольных. Делаю так (дельта-функцию от $z$ для краткости не пишу):

$$\lambda\delta(r-R)=\lambda\delta(\sqrt{x^2+y^2}-R)=\lambda\delta\left(\frac{x^2+y^2-R^2}{\sqrt{x^2+y^2}+R}\right)=2R\lambda\delta(x^2+y^2-R^2).$$

Я всё законно делаю здесь?

[Red_Herring]

Metford в сообщении #1206092 писал(а):

Я всё законно делаю здесь?

Да. Только Вы должны понимать, что означает самая последняя дельта, другими словами, как делать замену переменных в обобщенных функциях (и какие замены законны).

[Metford]

Red_Herring в сообщении #1206094 писал(а):

как делать замену переменных в обобщенных функциях (и какие замены законны)

А можно здесь немного подробнее? Или хотя бы где об этом прочитать? Мне кажется, что именно в этом месте у меня пробел. Потому что следующий шаг - аналогичное вычисление для эллипса. Там в полярных координатах по-прежнему всё тривиально пишется, но при переходе к декартовым координатам у меня получается не то, что нужно. Видимо, моя проблема в том, что в уравнение эллипса явно входит и радиус $r$, и полярный угол, которого в случае окружности не было, из-за чего задача становилась тривиальной.

Я считал, что могу аналогично вынести из аргумента дельта-функции множитель, который внутри аргумента содержит две переменные - но при вынесении следует учесть соотношение, определяющее носитель дельта-функции (в данном случае уравнение эллипса). Если непонятно выразил мысль, могу выкладку привести.

[Red_Herring]

Основные операции над обобщенными функциями определяются таким образом, чтобы в случае обычных функций они определялись обычным образом.

Рассмотрим сначала умножение на: если $u$ о.ф., $f$ гладкая ф., $\phi$ основная , то $( fu)(\phi):= u(f\phi)$

Теперь замена: $\varphi$ гладкое отображение: $(u\circ \varphi^{-1})(\phi)= |\det D\phi| u (\phi \circ \varphi)$. Вообще-то $\phi \circ \varphi$) гладкая, но там могут быть проблемы с носителем. Да, $D\phi$ матрица Якоби. Поэтому для простоты можно предположить, что $u$ имеет компактный носитель.

Ну, а к нашим баранам : что Вы с эллипсом хотите?

[Metford]

Насчёт замены вроде понял.

От эллипса я вот что хотел бы. Допустим, беру я уравнение эллипса в таком виде (в полярных координатах): $r=\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon^2\cos^2\varphi}}$ ($\varepsilon$ - эксцентриситет). Вид нестандартный, но более удобный в данном случае, как мне представляется. Объёмная плотность заряда тонкого эллиптического кольца

$$\rho=\lambda\delta\left(r-\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon^2\cos^2\varphi}}\right).$$

И теперь хотелось бы проделать ту же процедуру, что и выше для кольца в форме окружности, т.е. умножить аргумент на такое же выражение, только с плюсом ($r+\frac{b}{...}$) - тогда дельта-функцию нужно умножить на $2r$:

$$\rho=2r\lambda\delta\left(r^2-\frac{b^2}{1-\varepsilon^2\cos^2\varphi}\right).$$

А дальше переходить к декартовым координатам всюду. Только мне кажется, что я допускаю в последнем переходе ошибку. Или нет?

[Red_Herring]

Metford в сообщении #1206164 писал(а):

Объёмная плотность заряда тонкого эллиптического кольца

А почему такая? И к предыдущему тоже вопросы.

1) Вы говорите "объемная плотность" но пишете дельту одного переменного. Что обозначают Ваши переменные вообще? Какая размерность?

2) Если у нас есть плоскость и что-то вроде дельты, сосредоточенной на прямой $x=0$, to ona budet $\lambda(y)\delta (x)$, и множитель может быть любым. Аналогично с кривыми. У Вас $\lambda$ константа, или как? С окружностью в силу симметрии я бы согласился, а вот с эллипсом? Если эллипс диэлектрик, то плотность заряда Вы сами задаете, а если проводник, то как получится.

Аналогично, с кривыми в пространстве и с поверхностями в нём же.

[Munin]

В Википедии приведено выражение

$\delta(f(x))=\dfrac{\delta(x-x_0)}{|f'(x_0)|},$

где $x_0$ - простой нуль $f(x)$ (если их много, то суммирование по таким нулям).

Я так понимаю, вопрос в том, на какое выражение это заменяется в пространстве нескольких переменных, и насколько обоснованно им можно пользоваться / какие ограничения и условия возникают при его использовании.

[Metford]

Red_Herring в сообщении #1206175 писал(а):

1) Вы говорите "объемная плотность" но пишете дельту одного переменного. Что обозначают Ваши переменные вообще? Какая размерность?

Metford в сообщении #1206092 писал(а):

дельта-функцию от $z$ для краткости не пишу

Полностью будет так: $\rho=\lambda\delta(r-R)\delta(z)$ - пишу для окружности, чтобы покороче получалось. Обе дельты дают по одной обратной размерности длины, $\lambda$ - линейная плотность заряда - тоже выше упоминал - константа, размерность "заряд на длину". Результирующая размерность - заряд на длину в кубе, как положено.

Red_Herring в сообщении #1206175 писал(а):

У Вас $\lambda$ константа, или как? С окружностью в силу симметрии я бы согласился, а вот с эллипсом? Если эллипс диэлектрик, то плотность заряда Вы сами задаете, а если проводник, то как получится.

Речь идёт о некотором распределении зарядов, которое не меняется со временем. Почему это так - неважно. (Случай проводника, конечно, можно исключить из возможных вариантов.) Я могу формально для этого случая записать объёмную плотность заряда.

Munin в сообщении #1206176 писал(а):

Я так понимаю, вопрос в том, на какое выражение это заменяется в пространстве нескольких переменных, и насколько обоснованно им можно пользоваться / какие ограничения и условия возникают при его использовании.

Фактически, да. Тут ведь две независимые переменные. А с другой стороны, уравнение, задающее носитель, уже делает их не такими уж независимыми...

[Munin]

Metford в сообщении #1206164 писал(а):

Объёмная плотность заряда тонкого эллиптического кольца

$$\rho=\lambda\delta\left(r-\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon^2\cos^2\varphi}}\right).$$

А вот это, кстати, плохо.

С эллипсом надо аккуратнее, на него можно нанести разную плотность. Та, которую вы привели, - наиболее странная. На пальцах, она присваивает одинаковые заряды одним и тем же угловым участкам $d\varphi.$

Можно "покрасить" эллипс равномерной линейной плотностью. Но это ещё неестественней.

Наиболее естественными плотностями на эллипсе будут те, которые получаются из плотностей, скажем, эллиптического кольца, с шириной, стремящейся к нулю. (Внутри кольца плотность равномерная.) Тут можно взять два варианта: либо софокусные эллипсы, либо подобные эллипсы. В одном случае, заряд будет больше на "боках", в другом - на "остриях".

[Red_Herring]

Metford в сообщении #1206177 писал(а):

$\lambda$ - линейная плотность заряда - тоже выше упоминал - константа, размерность "заряд на длину".

Тогда с окружностью все ОК, но только по той причине, что элемент длины окружности это $rd\varphi$, а элемент площади $rd\varphi dr$. А у эллипса надо домножать первоначальную плотность на $ds/rd\varphi $, где $ds$ элемент длины эллипса, параметризованного углом. И тот же множитель далее везде