Терминология в вещественном анализе

[Anton_Peplov]

Очередная тема, где я буду задавать вопросы по терминологии.

Вопрос № 1. Насколько я понял из общения с англоязычным гуглом, подмножество $\mathbb R$ называется дискретным, если оно дискретно как подпространство $\mathbb R$. Другими словами, множество дискретно, если каждая его точка изолирована, или, что то же самое, если для каждой его точки можно указать предыдущую и следующую при естественном отношении порядка.

Этому условию удовлетворяют многие множества - например, множество $\{1/n | n \in \mathbb N\}$. Я хочу ввести более жесткое условие: чтобы существовало такое $\rho>0$, что любые два различных элемента множества находятся друг к другу не ближе чем на расстоянии $\rho$ (условие, которое выполняется, к примеру, для $\mathbb Z$). Такое множество как-нибудь называется?

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1205994 писал(а):

множество дискретно, если каждая его точка изолирована

Да.

Anton_Peplov в сообщении #1205994 писал(а):

или, что то же самое, если для каждой его точки можно указать предыдущую и следующую при естественном отношении порядка.

Нет.

Anton_Peplov в сообщении #1205994 писал(а):

Я хочу ввести более жесткое условие: чтобы существовало такое $\rho>0$, что любые два различных элемента множества находятся друг к другу не ближе чем на расстоянии $\rho$ (условие, которое выполняется, к примеру, для $\mathbb Z$). Такое множество как-нибудь называется?

Не встречал, но сам назвал бы равномерно дискретным.
Тем не менее, нужно помнить, что расстояние не является топологическим инвариантом, поэтому при переходе к эквивалентной метрике это свойство может нарушиться.

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1205997 писал(а):

Нет.

Так, это уже интересно. В какую сторону думать, чтобы найти контрпример?

Someone в сообщении #1205997 писал(а):

нужно помнить, что расстояние не является топологическим инвариантом

Это я, разумеется, помню. Но в данной теме меня интересует исследование числовой прямой с канонической топологией.

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #1206002 писал(а):

В какую сторону думать, чтобы найти контрпример?

В ту, что среди привычных числовых множеств есть не только $\mathbb Z$, которое Вы упоминали.

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1206002 писал(а):

с канонической топологией

А не с канонической метрикой?

Anton_Peplov в сообщении #1206002 писал(а):

В какую сторону думать, чтобы найти контрпример?

Anton_Peplov в сообщении #1205994 писал(а):

множество $\{1/n | n \in \mathbb N\}$

Добавьте к этому множеству ещё одну точку так, чтобы она была изолированной, не последней, и чтобы для неё не было непосредственно следующей.

Это, кстати, пример того, что топология подпространства линейно упорядоченного пространства может не совпадать с топологией, порождённой индуцированным порядком.

[Dan B-Yallay]

Someone в сообщении #1206008 писал(а):

чтобы для неё не было непосредственно следующей.

Еще можно добавить некоторое множество точек, чтобы для неё не было и непосредственно предыдущей точки.

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1206008 писал(а):

А не с канонической метрикой?

Да, с канонической метрикой. Метрики, эквивалентные канонической, но не совпадающие с ней, меня в данном случае тоже не интересуют.

Someone в сообщении #1206008 писал(а):

Добавьте к этому множеству ещё одну точку так, чтобы она была изолированной, не последней, и чтобы для неё не было непосредственно следующей.

Эээ... Я об этом, пожалуй, утром подумаю.

[ewert]

Ещё лучше вспомнить, какие ещё бывают множества с удвоенными чёрточками, кроме $\mathbb Z$.

[Anton_Peplov]

ewert в сообщении #1206013 писал(а):

Ещё лучше вспомнить, какие ещё бывают множества с удвоенными чёрточками, кроме $\mathbb Z$.

Я знаю только $\mathbb N$, $\mathbb Q$ и $\mathbb I$. В первом соседние числа всегда можно указать (ну, у единицы нет предыдущего, но и только), остальные два не дискретны.

[Dan B-Yallay]

Anton_Peplov в сообщении #1206012 писал(а):

Эээ... Я об этом, пожалуй, утром подумаю.

А шо там думать. Надо лишь попробовать найти первую точку в указанном уже множестве

Anton_Peplov в сообщении #1205994 писал(а):

$\{1/n | n \in \mathbb N\}$.

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #1206015 писал(а):

ну, у единицы нет предыдущего, но и только

этого что, мало?

Ведь опровергавшееся утверждение состояло в том, что

Anton_Peplov в сообщении #1205994 писал(а):

для каждой его точки можно указать предыдущую и следующую

"И", заметьте!

Кстати, насчёт терминологии. Не уверен, что для дискретности всегда и везде необходимым требованием является бесконечность. Скажем, дискретный спектр -- он такой потому (в частности), что образует дискретное множество, но при этом вовсе не обязательно бесконечное.

[Anton_Peplov]

ewert в сообщении #1206017 писал(а):

"И", заметьте!

Ну так и знал, что Вы с этим буквоедством прицепитесь. Специально для Вас уточняю: точку, следующую за точкой $a$, можно указать, если $a$ не является верхней гранью всего множества. Точку, предыдущую к точке $a$, можно указать, если $a$ не является нижней гранью всего множества.

Dan B-Yallay в сообщении #1206016 писал(а):

Надо лишь попробовать найти первую точку в указанном уже множестве

Так. Ага. Понял, о чем речь. Если добавим точку $-1$, то она будет изолированной, но следующей за ней не будет.

[Dan B-Yallay]

Anton_Peplov в сообщении #1206024 писал(а):

Так. Ага. Понял, о чем речь. Если добавим точку $-1$, то она будет изолированной, но следующей за ней не будет.

Абсолютно верно. При добавлении этой точки, новое множество остаётся дискретным. Также можно добавить аналогичную последовательность, сходящуюся к $-2$ снизу. Тогда в полученном множестве у точки $-1$ нет ни предыдущей, ни последующей. Но это еще не всё. Подобный трюк можно проделать по отношению ко всем точкам из первоначальной и добавленной последовательности. Чисто для того, чтобы имелось бесконечно много таких точек.

-- Вс апр 02, 2017 11:26:52 --

А потом и для точек на втором шаге и так до потери пульса.

-- Вс апр 02, 2017 11:55:47 --

С потерей пульса я переборщил. Чтобы множество оставалось дискретным, на каком-то конечном шаге надо остановиться.

[alcoholist]

Anton_Peplov в сообщении #1205994 писал(а):

Я хочу ввести более жесткое условие

кажется, такие множества называются $\rho$-разделенными

[Legioner93]

Anton_Peplov в сообщении #1206015 писал(а):

ewert в сообщении #1206013 писал(а):

Ещё лучше вспомнить, какие ещё бывают множества с удвоенными чёрточками, кроме $\mathbb Z$.

Я знаю только $\mathbb N$, $\mathbb Q$ и $\mathbb I$. В первом соседние числа всегда можно указать (ну, у единицы нет предыдущего, но и только), остальные два не дискретны.

Легко проредить множество $\mathbb{Q} \bigcap (0, 1)$ так, чтобы оно стало дискретным, но при этом осталось бесконечным и сохранило свойство "ни для одной точки множества нельзя указать ни следующую, ни предыдущую".