Это по сути черновик еще незаконченного доказательство, я в нем уже много раз убирал и переписывал целые абзацы, так что оно не слишком понятно может быть.
Операция для меня работает так: выбираем сначала ровно одно множество из множества строк и столбцов, а затем выбираем любой соответствующий элемент в выбранном множестве и меняем его знаки на противоположные.
I.Рассмотрим то же условие, но для таблицы размера 2x2(Я буду ее еще называть маленькой таблицей).(Я хочу доказать утверждение для таблицы 2х2 сначала, а потом 5х5 свести к случаю таблицы 2х2)
Всего вариантов применения операции к этой маленькой таблице 4. (Мы можем ее применить к первой строке, второй строке, первому столбцу, второму столбцу). Больше вариантов не имеется.
В самом деле, если бы существовал хотя бы один вариант, отличный от наших четырех,то по условию выбирали бы мы его так: сначала выбираем множество строк или столбцов. Пусть мы выбрали множество строк. По предположению вариант должен отличаться от первой и второй строки, т.е. иметь хотя бы номер отличный от первых двух строк, а так как нумерация строк начинается с единицы, то его номер должен быть больше двух, т.е. в нашей таблице 2х2 содержится строка, номер которой больше двух,т.е. в ней получается больше двух строк, но по определению понятия таблицы 2х2 такого быть не может, значит противоречие), значит он может быть только столбцом, но по той же причине им он тоже быть не может, значит все доказано.
Теперь строим всевозможные варианты расположения плюсов и минусов в нашей маленькой таблице.См. рисунок.(Не знаю как его прикрепить). Отсюда получается, (это как бы экспериментальный факт, я не доказывал это теоретически, просто вот так получилось) что применяя любую операцию к любому из существующих на рисунке вариантов мы получаем снова один из них же.(Стоит заметить, что среди этих вариантов содержатся 4 начальных позиции,(это те,когда плюс в одном из углов таблички)). Значит других вариантов, кроме этих не существует.
Действительно, если бы существовал вариант отличный от них, то он должен был бы отличаться и от начальных позиций, а значит мы должны к нему придти через последовательность операций, начиная с одной из начальных позиций. Рассмотрим эту последовательность, Начиная с самого начала мы из любой начальной позиции, применяя любой вариант операции можем получить лишь один из уже существующих вариантов расположения плюсов и минусов(это из-за экспериментального факта), далее применяя к полученному варианту любую операцию(в том числе ту, которая в последовательности) мы снова получим один из уже существующих вариантов(эксп. факт). И далее, из-за этого экспериментального факта на каждом следующем шаге у нас будет получаться один из уже существующих вариантов, в том числе на последнем шаге тоже будет один из них же. Однако, мы предполагали, что вариант полученный на последнем шаге будет от них отличаться. Противоречие.
Отсюда следует, что не существует такой последовательности операций, в результате которой все знаки стали бы плюсами. Так как на каждом ее шаге будет один из возможных вариантов, которые мы открыли, в том числе и последний. Но ни один из этих вариантов не является искомым(тем у которого все знаки - плюсы).
Таким образом, мы доказали, что не существует такой последовательности операций в маленькой таблице в результате которых все знаки в ней становятся плюсами.
II Тот угол в большой таблице, в котором находится плюс, окаймляем соответствующей маленькой 2х2 таблицей. Теперь доказываем от противного: если существует последовательность действий, делающая все знаки в таблице плюсами, то она также должна делать все знаки плюсами и в маленькой угловой таблице 2x2(Иначе в маленькой не все знаки стали плюсами, т.е. (из условия следует?) существует хотя бы один знак минус, но так как минус содержится в маленькой таблице, а она сама в большой, то(транзитивность?) минус содержится и в большой таблице, противоречие).
(Здесь так сразу нельзя сказать, то что такой последовательности по доказанному в первом пункте быть не может, потому что там это было доказано про последовательности "длины 2", а здесь длины 5, поэтому ее надо заменить на последовательность длины 2, обладающей тем же конечным эффектом).
В нашей предполагаемой последовательности шаги делятся на два типа: которые влияют на расположение знаков в таблице 2х2 и которые не влияют(Закон исключенного третьего). Докажем, что нашу последовательность можно заменить другой, без шагов второго типа. Действительно, идем по порядку предполагаемой последовательности, пока не встретим шаг первого типа все будет оставаться на своих местах, после шага первого типа зафиксируем изменения в маленькой таблице и двинемся дальше)Надо как-то получше сформулировать этот пункт). До встречи со следующим шагом второго типа все будет таким же как и раньше. После чего снова изменение фиксируем и двигаемся дальше, таким образом,соответствующая ей последовательность без шагов второго типа имеет тот же конечный эффект(результат), что и наша первая последовательность.
Далее новую последовательность аналогично заменяем такой же по эффекту последовательностью с обрубленными хвостами. Таким образом, получается существует последовательность маленьких шагов в результате которой тот же эффект, что и у второй, а значит тот же эффект, что и у первой, но по выводу из первого пункта эта последовательность точно не может сделать все знаки плюсами, а значит этого не может сделать и наша предполагаемая. Ч.т.д.
Но здесь еще все равно до кучи мест, где можно поставить знаки вопроса
-- 02.04.2017, 21:40 --Эти задачи как бы не полностью внутри математики находятся.
Не понял, а почему?
Сам не могу толком понять, эти задачи что ли требуют какого очень сложного дополнительного перевода на язык строгости?
вот например другая задача, из той же книжки:
"В кладовой лежат 300 сапог: 100 хромовых, 100 кирзовых и 100 яловых, причём левых и правых поровну | по 150.
Докажите, что из имеющихся сапог можно составить по крайней мере 50 пар."
И вот мое решение:
Исходные обозначение: x-числа левых хромовых сапог, y-число левых кирзвоых сапог,z-число левых яловых сапог, z'-число правых яловых сапог.
Возьмем произвольные x,y,z удовлетворяющие условиям задачи. Без ограничения общности можно считать, что z>z',в противном случае поменяем местами буквы для левых и правых яловых сапог, и z=/=z', так иначе z=50, и это удовлетворяет условию задачи при любых x и y. Пусть число пар сапог образованных этими числами равно N.
Теперь перекинем один сапог из z в x или y. Так как z>50 число пар яловых сапог увеличится на 1, а число пар образованных x или y либо уменьшится на 1, либо увеличится на 1, таким образом общее число пар N точно не уменьшится, далее будем перекидывать z в x или y пока z не станет равным 50, но N по доказанному у нас на каждом шаге не убывало, и потому N>=50. И это, повторюсь, было для произвольных x,y,z. Следовательно из имеющихся пар сапог действительно можно составить не менее 50 пар.
И там, и там надо доказать; и там, в формулировке не чисто математические термины, и я придерживаюсь принципа: Доказательство - это рассуждение, которое убеждает вас настолько, что вы готовы убеждать этим рассуждением других", но почему-то решение этой задачи меня абсолютно не гложет, в отличие от задачи про таблички.
Просто вот так получается, что обе задачи в плане решения простые, но в задаче про сапоги строгость сама по себе получается, а в табличках аспект строгости в тыщу раз сложнее решения задачи.
-- 02.04.2017, 21:48 --famesyasd, а где ваше то, которое нестрогое, решение этой задачи?
То, которое я выше написал, это над которым я долго думал, а изначально, у меня было практически авторское решение:
Рассмотрим таблицу 2х2, здесь я перебираю варианты таким образом:в силу соображений симметрии можно считать, что плюс находится в левом верхнем углу, если операция касается плюсика, то он перемещается в другой угол, иначе она меняется линию минусиков и они становятся плюсами и получается ситуация, когда у нас один минус в углу, а все остальные клетки плюсики, т.е. суть ситуация, когда плюс в углу и все остальные минусы. Значит, в 2х2 все знаки плюсами сделать невозможно, а так как большая таблица содержит эту маленькую, то в ней тем более.
и операция смены знака 
, 
; есть какое-то пятиэлементное множество индексов строки/столбца 
(например, 
, но конкретный вид вряд ли где-то понадобится) и какой-то конкретный его элемент 
; есть множество состояний доски 
. Вначале доска имеет состояние 
, 
, возможные операции над доской — это 
, где 
, 
. Множество достижимых состояний доски можно определять по-всякому. Можно определить отношение достижимости за одну операцию и потом взять транзитивное замыкание (и рефлексивное, но тут это ничего не даст), можно определить всевозможные состояния или допустимые последовательности операций индуктивно. И так далее. Вопрос формализовать получится. Готовое решение формализовать тоже должно получиться, и вот где у вас загвоздка, про то и напишите. (Если вам нужна именно предложенная формализация. Так-то я присоединяюсь к трём предыдущим постам.)
