Посчитать замысловатую сумму.

[matlab-mexmat]

ДОКАЗАТЬ:

$$ \sum\limits_{i=0}^{n} \, \prod_{j=0,j \neq i}^{n} x_i/(x_i-x_j)=1,$$

где $x_i\neq x_j\quad (i\neq j)$


Можно применить интерполяционный многочлен Лагранжа, но у него в числителе будут $x_1\ldots x_n$, когда у нас $x_i^n$.

[ewert]

matlab-mexmat писал(а):

ДОКАЗАТЬ:

$$ \sum\limits_{i=0}^{n} \prod_{j=0,j \neq i}^{n} x_i/(x_i-x_j)=1$$

, где x_i\neq x_j (i\neq j)

Тогда наверняка надо так. Рассмотрим функцию

$$ f(z)={{z^n}\over\prod\limits_{j=0}^{n} (z-x_j)}$$

. Тогда

$$ \sum\limits_{i=0}^{n} \prod_{j=0,j \neq i}^{n} {x_i\over(x_i-x_j)}$$

-- это сумма вычетов функции

$$ f(z)$$

по всем полюсам. А вычет этой же функции на бесконечности откровенно равен единице.

[TOTAL]

matlab-mexmat писал(а):

ДОКАЗАТЬ:

$$ \sum\limits_{i=0}^{n} \prod_{j=0,j \neq i}^{n} x_i/(x_i-x_j)=1$$

, где x_i\neq x_j (i\neq j)

Это разделенная разность $n$-го порядка для функции $f(x)=x^{n}$, поэтому равна $\frac{f^{(n)}(\theta)}{n!}=1$