2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Посчитать замысловатую сумму.
Сообщение20.05.2008, 01:10 
ДОКАЗАТЬ:

$$ \sum\limits_{i=0}^{n} \,  \prod_{j=0,j \neq i}^{n} x_i/(x_i-x_j)=1,$$ где $x_i\neq x_j\quad (i\neq j)$


Можно применить интерполяционный многочлен Лагранжа, но у него в числителе будут $x_1\ldots x_n$, когда у нас $x_i^n$.

 
 
 
 Re: Посчитать замысловатую сумму.
Сообщение20.05.2008, 02:11 
matlab-mexmat писал(а):
ДОКАЗАТЬ:

$$ \sum\limits_{i=0}^{n}   \prod_{j=0,j \neq i}^{n} x_i/(x_i-x_j)=1$$ , где x_i\neq x_j (i\neq j)

Тогда наверняка надо так. Рассмотрим функцию $$ f(z)={{z^n}\over\prod\limits_{j=0}^{n} (z-x_j)}$$. Тогда $$ \sum\limits_{i=0}^{n}   \prod_{j=0,j \neq i}^{n} {x_i\over(x_i-x_j)}$$ -- это сумма вычетов функции $$ f(z)$$ по всем полюсам. А вычет этой же функции на бесконечности откровенно равен единице.

 
 
 
 Re: Посчитать замысловатую сумму.
Сообщение20.05.2008, 06:09 
Аватара пользователя
matlab-mexmat писал(а):
ДОКАЗАТЬ:
$$ \sum\limits_{i=0}^{n}   \prod_{j=0,j \neq i}^{n} x_i/(x_i-x_j)=1$$ , где x_i\neq x_j (i\neq j)
Это разделенная разность $n$-го порядка для функции $f(x)=x^{n}$, поэтому равна $\frac{f^{(n)}(\theta)}{n!}=1$

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group