Помогите с дисперсией, плиз

[provincialka]

Прошу прощения за элементарный вопрос... Просто умоталась в последние дни, мозги в трубочку...

Мне понадобилось создать выборку из какой-нибудь "некраcивой" с.в. на основе стандартных датчиков. Выбрали такую: половина значений выборки берется из нормального распределения с матожиданием $a$ и стандартным отклонением $s$, вторая -- то же, но матожидание равно $-a$. Потом значения перемешиваются случайным образом. Ясно, что матожидание полученной величины равно 0. А вот чему равна дисперсия?

(Собственно, я хочу иметь возможность подбирать параметры так, чтобы полученная с.в. имела заданную дисперсию $\sigma^2$.)

-- 31.03.2017, 22:05 --

(кажется, должно получиться $\sigma^2 = a^2+s^2$. Верно?)

[ewert]

Ну в принципе всё вроде так. Поскольку матожидание равно нулю -- дисперсия равна матожиданию квадрата, а оно складывается из сумм квадратов матожиданий и дисперсий отдельных испытаний. Только вроде как надо ещё умножить всё на два эн. (ну или два эн пополам)

[Otta]

provincialka
Я не очень поняла задачу. $s$ - это генеральное с.к.о. или выборочное?

provincialka в сообщении #1205481 писал(а):

Собственно, я хочу иметь возможность подбирать параметры так, чтобы полученная с.в. имела заданную дисперсию $\sigma^2$.

Правильно ли я понимаю, что хочется подбирать параметры так, чтобы выборка вела себя как выборка из нормального распределения с параметрами $(0, \sigma^2)$? Если нет, то что за с. в. имеется в виду?

[ewert]

Otta в сообщении #1205502 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что хочется подбирать параметры так, чтобы выборка вела себя как выборка из нормального распределения с параметрами $(0, \sigma^2)$?

Неправильно. Ей хочется, чтоб выборка была гадкой, т.е. не сводилась бы к стандартному какому-либо распределению.

-- Пт мар 31, 2017 23:50:51 --

А уж вопрос нормировки -- это уж сугубо технический вопрос. Речь же всего лишь о генерации учебных задачек.

[provincialka]

Не... умножать не надо, кажется..
Провела эксперимент на R:

Используется синтаксис Python

N<- 10000
a <- 3; s <- 4
x<-c(rnorm(N,a,s),rnorm(N,-a,s))
var(x)

Результат: 25.00905

[Ms-dos4]

ewert
Я тоже не понял. Если она возьмёт две равные выборки нормально распределённых независимых с.в. с параметрами $\[(\mu ,{\sigma _1})\]$ и $\[( - \mu ,{\sigma _2})\]$ то получит нормально распределённую выборку с параметрами $\[(0,\sqrt {\sigma _1^2 + \sigma _2^2} )\]$. Разве не так?

[provincialka]

Otta
Ну.. я, так-то не вероятностник и не статистик, просто, что называется, попала
Использую $R$ для иллюстрации при преподавании ТВ и МС (для всяких нематематиков)

Во многих теоремах, при вычислении доверительных интервалов, при проверке гипотез, требуется, чтобы исходная величина была распределена нормально. Вот я и хотела "экспериментально" показать, насколько "испортятся" результаты, если заменить нормально распределенную с.в. на какую-нибудь "нехорошую", например, двухмодальную.

[ewert]

Строго говоря, я не знаю (лень думать). Но вообще-то говоря, она нормальные распределения не складывала, а объединяла. А это вроде совсем другой коленкор.

Могу и ошибаться, конечно.

[provincialka]

Ms-dos4
То есть как? от $\mu$ разве ничего не зависит?

-- 31.03.2017, 23:02 --

ewert
Именно! Объединяла. Вот не знаю, как это правильно называется... но я думаю, что при таком действии плотность получается как полусумма исходных плотностей. По крайней мере, результат $a^2+s^2$ я получила именно так! И он совпал с экспериментом.

[ewert]

provincialka в сообщении #1205512 писал(а):

Не... умножать не надо, кажется..

Не, ну не верю. Ну складываются же матожидания.

(Оффтоп)

(Эром не владею; у нас на кафедре есть на этот счёт, кажется, только один энтузиаст; ну точно не более полутора)

[Ms-dos4]

provincialka
А, всё, дошло. Я то в сторону свёртки плотностей подумал (это отвечает распределению суммы).

[Otta]

provincialka
Да, все верно. $a^2+s^2$

Ms-dos4
Это не сумма (выборочных моментов никто не считает), это смесь. Выборка тут, собственно, почти ни при чем (все-таки задача от усталости кривовато поставлена). Важно лишь то, что веса равны - по $1/2$.

ewert
ТС же не выборочную дисперсию ищет, ничего там не сложится.

[ewert]

Но ей по правилам игры нужна именно выборочная.

Ну потом можно, конечно, домножить/поделить на поправочные коэффы.

[Ms-dos4]

provincialka
Тогда вроде бы действительно так. В mathematica подтверждается

data1 = RandomVariate[NormalDistribution[-2, 3], 10^5];
data2 = RandomVariate[NormalDistribution[2, 3], 10^5];
data3 = Join[data1, data2];
Mean[data3]
-0.00224447
Variance[data3]
13.0028

[ewert]

Otta в сообщении #1205529 писал(а):

все-таки задача от усталости кривовато поставлена

Что значит кривовато?...

Задача ровно в том и состояла, чтоб чего-нить испохабить. И если не ошибаюсь, решена была успешно. Как минимум в первом приближении.