Задача на экстремум функционала

[Spook]

Найти экстремум
$\int\limits_{0}^{\pi} \int\limits_{0}^{\pi}y(t)y(x)K(x,t)dt dx=max$

при условии $\int\limits_{0}^{\pi}y^2(x)dx=1$ , где

$$K(x,t)=\frac1 {\pi+1}$$

$ \left\{ \begin{array}{l} x(\pi+1-t), x\leqslant t\\ t(\pi+1-x), t\leqslant x \end{array} \right. $

Пока только заметил, что ядро симметричное, а также условие на $y$ наводит на равенство Парсеваля, дальше пока никак((

[Gafield]

Цитата:

Пока только заметил, что ядро симметричное, а также условие на $y$ наводит на равенство Парсеваля, дальше пока никак((

Ну, правильно, есть теория в $L_2$. Максимум будет равен наибольшему собственному значению. Так что достаточно решить интегральное уравнение ${\cal K} f=\lambda f$. на $\lambda$ и $f$. Собственная функция, соответствующая $\lambda_\max$, будет одна (с точностью, конечно, до константы).

[Spook]

Gafield, поясни пожалуйста поподробнее, почему достаточно решить только это интегральное уравнение. Наибольшее собственное значение имеется ввиду по модулю? А константу нельзя будет найти из условия нормировки $y$?

[Gafield]

Эта задача - аналог следующей конечномерной. Пусть $A$ - симметричная матрица. Найти $\max (Ay,y)$ при условии $|y|=1$. А $\cal K$ - компактный оператор в гильбертовом пространстве $L_2$. Свойства примерно такие же, как у $A$, только с.з. может быть бесконечное число и они будут стремиться к нулю. Да, вообще говоря по модулю, хотя мне кажется, что здесь будет положительно-определенный оператор. Первое собственное значение точно >0 и с.ф. положительна.

[Spook]

Gafield, вроде разобрался, спасибо. Можете визуально проверить ответ? А то я получил вот что:

$$\frac 1 {-\frac {\pi+1}{\pi(\pi+2)}+\frac 6 {\pi}+\frac 3 {4(2+\pi)}-\frac 3 {\pi^3}}$$

[Gafield]

Визуально не могу Откуда это? Что-то сомнительно, что все так сложно. В данном случае подойдет такой способ вычислить наибольшее с.з.: начать с функции $f_0\equiv1$ и рассм. посл. $f_n={\cal K} f_{n-1}$. Отношение норм в $L_2([0,\pi+1])$ функций $f_{n+1}$ и $f_n$ в пределе должно дать $\lambda_\max$.

[Spook]

Так я до конца жизни так буду итерировать) Может это как нибудь связано с резольвентой?

[Gafield]

Приведенный ответ неправдоподобен, поскольку заменой $x\to (1+\pi)x$ задача сводится к задаче на $[0,1]$, причем ядро будет равно $(1+\pi)^2 $ умножить на функцию, не содержащую $\pi$. Поэтому ответ равен $(1+\pi)^{-2} a$, где $a$, скорее всего, не содержит $\pi$. Может, даже рационально.

Цитата:

Может это как нибудь связано с резольвентой?

Как-то связано. Однако, чтобы ее найти, надо тоже интегрировать.

[ewert]

Вообще-то ядро -- это вроде как функция Грина для оператора двукратного дифференцирования на отрезке с граничными условиями Дирихле. Ну или может с точностью до какой константы. Так что надо быстренько, на коленке, написать соответствующую задачу Штурма-Лиувилля и найти ее собственные числа. Наименьшее и даст искомый экстремум.

--------------------------------
Пардон, там на правом конце граничное условие вовсе не Дирихле, а третьего типа, так что всё упрётся в простенькое, но трансцедентное уравнение

[Spook]

Перерешал еще раз.
Продифференцировав дважды функцию $y(x)=\lambda\int\limits_{0}^{\pi}K(x,t)y(t)dt$ получаем $-y''=\lambda$
при этом $y(0)=0,y'(0)=1,y(\pi)=\frac {\sqrt{2}} 2,y'(\pi)=-\frac {\sqrt{2}} 2$
наверное гдето ошибка так как начальные условия не позволяют посчитать $\lambda$. Это при том, что нужно позаботиться об нормировке.

[ewert]

Spook писал(а):

Перерешал еще раз.
Продифференцировав дважды функцию $y(x)=\lambda\int\limits_{0}^{\pi}K(x,t)y(t)dt$ получаем $-y''=\lambda$
при этом $y(0)=0,y'(0)=1,y(pi)=\frac {\sqrt{2}} 2,y'(\pi)=-\frac {\sqrt{2}} 2$
наверное гдето ошибка так как начальные условия не позволяют посчитать $\lambda$. Это при том, что нужно позаботиться об нормировке.

Только $-y''=\lambda y$.
Граничных условий как-то безумно много, из должно быть ровно два, причём однородных:

$$y(0)=0;\qquad y(\pi)=y'(\pi).$$

[Spook]

ewert писал(а):

Только $-y''=\lambda y$.

откуда там взялось $y$? А с граничными условиями я напутал: получается $y(0)=0, y'(\pi)+y(\pi)=0$

[ewert]

Spook писал(а):

ewert писал(а):

Только $-y''=\lambda y$.

откуда там взялось $y$? А с граничными условиями я напутал: получается $y(0)=0, y'(\pi)+y(\pi)=0$

А как он (игрек) может не взяться, когда когда изначально в задаче на спектр сидит и в левой, и в правой частях равенства? Во втором граничном условии знак -- да, я перепутал.

[Spook]

Да, Вы правы, там $-y''=\lambda y$. Теперь мне надо найти $\lambda$ исходя из начальных условий?

[ewert]

Из каких таких начальных условий? Задача Штурма-Лиувилля поставлена, её и решайте.