Задача с параллельными прямыми

[Rusit8800]

Кажется я понял.Будем рассматривать максимумы:

$$\frac{{{a_0} + {a_9}}}{2} \cdot 9 = 9 \Rightarrow {a_0} + {a_9} = 2;{\text{ }}{a_1} + {a_2} + ... + {a_8} + \frac{2}{2} = 9 \Rightarrow {a_1} + {a_2} + ... + {a_8} = 8; \Rightarrow {a_0} + {a_1} + ... + {a_9} = 10$$

[ewert]

Ну примерно так. Только зачем про максимумы, когда можно сложить тупо неравенства?...

[Rusit8800]

Просто я иногда сомневаюсь с точностью оценки неравенства. Например можно показать, что

$$\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{{n^2}}} < 2$$

, но на самом деле точная оценка такая:

$$\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{{n^2}}} < \frac{{{\pi ^2}}}{6}$$

Если вычитать такие неравенства, то будет получаться что-то типа:

$$0 < \frac{{{\pi ^2}}}{6} - 2$$

Из-за неточности неравенства получилось вообще невозможное неравенство. В данной задаче из-за неточных неравенств мог быть другой максимум. Из-за такой неточности я боюсь их складывать.

-- 30.03.2017, 16:07 --

И да, если неравенство нестрогое, то оно обязательно точное?

[ewert]

Rusit8800 в сообщении #1204876 писал(а):

Если вычитать такие неравенства, то будет получаться что-то типа

что-то типа ничего. Такие неравенства нельзя вычитать, можно только складывать.

Rusit8800 в сообщении #1204876 писал(а):

И да, если неравенство нестрогое, то оно обязательно точное?

Нет, естественно. Но в этой задачке оно точное (и даже достигается -- если, конечно, считать, что многоугольник включает свою границу).

[Xaositect]

Rusit8800 в сообщении #1204876 писал(а):

$$\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{{n^2}}} < \frac{{{\pi ^2}}}{6}$$

Тут должно быть $=$ или $\leqslant$.

Rusit8800 в сообщении #1204876 писал(а):

Из-за такой неточности я боюсь их складывать.

Надо просто правильно уметь складывать и вычитать неравенства.
1. Складывать можно только неравенства одного знака:
$\begin{cases}a < b\\ c < d\end{cases} \Rightarrow a + c < b + d$
$\begin{cases}a < b\\ c \leqslant d\end{cases} \Rightarrow a + c < b + d$
$\begin{cases}a \leqslant b\\ c \leqslant d\end{cases} \Rightarrow a + c \leqslant b + d$
2. Неравенства можно умножать на положительные числа
$\begin{cases}a < b\\ k > 0\end{cases} \Rightarrow ka < kb$
3. При умножении на отрицательные числа знак неравенства меняется
$\begin{cases}a < b\\ k < 0\end{cases} \Rightarrow ka > kb$
4. Из первого и третьего следует, что вычитать можно только неравенства разных знаков, потому что вычитание - это сложение с умноженным на $-1$
$\begin{cases}a < b\\ c > d\end{cases} \Rightarrow a - c < b - d$
$\begin{cases}a < b\\ c \geqslant d\end{cases} \Rightarrow a - c < b - d$
$\begin{cases}a \leqslant b\\ c \geqslant d\end{cases} \Rightarrow a - c \leqslant b - d$

[Rusit8800]

Xaositect в сообщении #1204882 писал(а):

4. Из первого и третьего следует, что вычитать можно только неравенства разных знаков, потому что вычитание - это сложение с умноженным на $-1$
$\begin{cases}a < b\\ c > d\end{cases} \Rightarrow a - c < b - d$
$\begin{cases}a < b\\ c \geqslant d\end{cases} \Rightarrow a - c < b - d$
$\begin{cases}a \leqslant b\\ c \geqslant d\end{cases} \Rightarrow a - c \leqslant b - d$

А, ну это я подзабыл.

-- 30.03.2017, 16:35 --

ewert в сообщении #1204878 писал(а):

Но в этой задачке оно точное (и даже достигается -- если, конечно, считать, что многоугольник включает свою границу).

Почему? И как вообще определить, точное оно или нет?

[ewert]

Rusit8800 в сообщении #1204894 писал(а):

Почему?

Потому, что если исходный многоугольник -- соотв. трапеция, то все неравенства превращаются в равенства.

[Rusit8800]

А верно ли следующее эвристическое утвержение: "Из неравенства можно "вынуть" максимум только когда оно точное"?

[TOTAL]

Rusit8800 в сообщении #1205178 писал(а):

А верно ли следующее эвристическое утвержение: "Из неравенства можно "вынуть" максимум только когда оно точное"?

Предлагаю вариант: совершенно точно, что из точного неравенства можно "вынуть" не меньше, чем из неточного. А иногда и больше.

[Rusit8800]

Логично.