Площади трёх треугольников

[kotenok gav]

Я отказываюсь от

kotenok gav в сообщении #1204875 писал(а):

Я попробую решить, но завтра, на свежую голову.

потому что мне очень хочется сейчас прочесть решение Yadryara.

[Yadryara]

ewert в сообщении #1204893 писал(а):

я решение только что привёл.

Нет, не привели.

ewert в сообщении #1204889 писал(а):

$a$ -- произвольный положительный параметр

Нет, $a$ имеет ровно одно подходящее положительное значение. Как, впрочем, и $b$, $c$, $d$.

kotenok gav в сообщении #1204907 писал(а):

потому что мне очень хочется сейчас прочесть решение Yadryara.

Видимо, придётся мне, с позволения модераторов, всё-таки привести решение, которое расставит недостающие точки над i. Где-то через час.

-- 30.03.2017, 17:12 --

Обозначения те же, что и в стартовом посте.

Мы знаем, что

$80 + 6 + c(a-d) = 88$

и, в то же время

$22 + 6 + d(b-c) = 88$

откуда

$58 + c(a-d) - d(b-c) = 0$

Подставив сюда известные нам $b = \dfrac{88}a$ и $d = \dfrac6c$, получим

$58 + c\left(a-\dfrac6c\right) - \dfrac6c\left(\dfrac{88}a-c\right) = 0$

$58 + ac - 6 - \dfrac{528}{ac} + 6 = 0$

$a^2c^2 + 58ac - 528 = 0$


$c = \dfrac{- 58\pm \sqrt{58^2a^2 + 4\cdot528a^2}}{2a^2}$

$c = 37a - 29$

$d = \dfrac6{37a - 29}$

Теперь подставляем эти значения $c$ и $d$ в самое-самое верхнее уравнение:

$80 + 6 + (37a - 29)\left(a-\dfrac6{37a - 29}\right) = 88$

$37a^2 - 29a - 8 = 0$

$a = \dfrac{29\pm \sqrt{(-29)^2 + 4\cdot37\cdot8}}{74}$

$a = \dfrac{29\pm 45}{74}$

$a = 1$

$b = \dfrac{88}1 = 88$

То есть наш прямоугольник — эдакая длиннющая полоска 1х88.

$c = 37\cdot1 - 29 = 8$

$d = \dfrac68 = 0.75$

Как видим, значение d у нас и не целое вовсе.

[Yadryara]

Обозначения те же, что и в стартовом посте.

Мы знаем, что

$80 + 6 + c(a-d) = 88$

и, в то же время

$22 + 6 + d(b-c) = 88$

откуда

$58 + c(a-d) - d(b-c) = 0$

Подставив сюда известные нам $b = \dfrac{88}a$ и $d = \dfrac6c$, получим

$58 + c\left(a-\dfrac6c\right) - \dfrac6c\left(\dfrac{88}a-c\right) = 0$

$58 + ac - 6 - \dfrac{528}{ac} + 6 = 0$

$a^2c^2 + 58ac - 528 = 0$


$c = \dfrac{- 58\pm \sqrt{58^2a^2 + 4\cdot528a^2}}{2a^2}$

$c = 37a - 29$

$d = \dfrac6{37a - 29}$

Теперь подставляем эти значения $c$ и $d$ в самое-самое верхнее уравнение:

$80 + 6 + (37a - 29)\left(a-\dfrac6{37a - 29}\right) = 88$

$37a^2 - 29a - 8 = 0$

$a = \dfrac{29\pm \sqrt{(-29)^2 + 4\cdot37\cdot8}}{74}$

$a = \dfrac{29\pm 45}{74}$

$a = 1$

$b = \dfrac{88}1 = 88$

То есть наш прямоугольник — эдакая длиннющая полоска 1х88.

$c = 37\cdot1 - 29 = 8$

$d = \dfrac68 = 0.75$

Как видим, значение d у нас и не целое вовсе.

[kotenok gav]

Yadryara
C равно не $37a-29$ а $\frac{37a-29}{a^2}$

[Yadryara]

kotenok gav
Благодарю за уточнение. Надо пересчитать вторую часть решения.

-- 30.03.2017, 18:24 --

Кстати, ответ при пересчёте точно такой же и получается ещё быстрее:

$c = \dfrac{37a - 29}{a^2}$

$d = \dfrac{6a^2}{37a - 29}$

Теперь подставляем эти значения $c$ и $d$ в самое-самое верхнее уравнение:

$80 + 6 + \dfrac{37a - 29}{a^2}\left(a-\dfrac{6a^2}{37a - 29}\right) = 88$

$\dfrac{37a - 29}a = 8$

$37a - 8a = 29$

$a = 1$

$b = \dfrac{88}1 = 88$

То есть наш прямоугольник — эдакая длиннющая полоска 1х88.

$c = \dfrac{37\cdot1 - 29}{1^2} = 8$

$d = \dfrac68 = 0.75$

Как видим, значение d у нас и не целое вовсе.

[ewert]

Yadryara, ну теперь ищите лишнее требование, которое Вы где-то и зачем-то наложили. Поскольку соотношение сторон может быть заведомо любым по тривиальным геометрическим соображениям.

[Yadryara]

Нет никакого лишнего требования. Перед Вами решение. Ошибка в нём есть?

[ewert]

Yadryara в сообщении #1204986 писал(а):

Перед Вами решение. Ошибка в нём есть?

Если из него следуют конкретные длины сторон -- безусловно, есть. Не верите своим глазам геометрии -- так вот Вам исчерпывающая алгебраическая формулировка условий задачи:

gris в сообщении #1203296 писал(а):

$a(b-x)=80;b(a-y)=22;xy=6.$

В исходном условии нет больше ничего, решительно ничего. И это -- система из трёх уравнений для ровно трёх неизвестных: $\frac{x}b,\ \frac{y}a,\ ab$. И никакими усилиями выжать из неё абсолютные значения $a,\ b$, естественно, не удастся.

[Yadryara]

ewert в сообщении #1204992 писал(а):

gris в сообщении #1203296 писал(а):

$a(b-x)=80;b(a-y)=22;xy=6.$

В исходном условии нет больше ничего, решительно ничего.

Нет, есть ещё по крайней мере одно уравнение. В этих же обозначениях $80 + x(a-y) = 22 + y(b-x)$

[ewert]

Yadryara в сообщении #1205020 писал(а):

В этих же обозначениях $80 + x(a-y) = 22 + y(b-x)$

И откуда Вы его взяли, любопытно?... (это совершенно независимо от того, верно оно или нет, главное: откуда?...)

Ибо gris перевёл формулировку задачи на алгебраический язык абсолютно исчерпывающе.

[Yadryara]

ewert в сообщении #1205021 писал(а):

И откуда Вы его взяли, любопытно?...

Нарисовал два рисунка. Один и тот же исходный прямоугольник $ab$ разрезан двумя способами:

$\tikz[scale=.1]{ \draw [ultra thick] (2,20)--(42,20)--(42,0)--(2,0)--(2,20); \draw [thick] (30,20)--(30,0); \draw [thick] (30,7)--(42,7); \node at (21,11){\textbf{80}}; \node at (35,4){\textbf{6}}; }$

$\tikz[scale=.1]{ \draw [ultra thick] (2,20)--(42,20)--(42,0)--(2,0)--(2,20); \draw [thick] (30,7)--(30,0); \draw [thick] (2,7)--(42,7); \node at (21,11){\textbf{22}}; \node at (35,4){\textbf{6}}; }$

[ewert]

Не нужно ничего рисовать. Даже вредно (запыхаться можно). Если три площади есть, то любая четвёртая может получиться лишь их комбинациями.

[Yadryara]

Из рисунков должно быть прекрасно видно откуда взято

$80 + 6 + x(a-y) = 22 + 6 + y(b-x)$

Проставлю обозначения:

$\tikz[scale=.1]{ \draw [ultra thick] (2,20)--(42,20)--(42,0)--(2,0)--(2,20); \draw [thick] (30,20)--(30,0); \draw [thick] (30,7)--(42,7); \node at (19,11){\textbf{80}}; \node at (35,4){\textbf{6}}; \node at (0,10){\text{a}}; \node at (22,22){\text{b}}; \node at (0,10){\text{a}}; \node at (36,-2){\text{x}}; \node at (44,3){\text{y}}; }$

$\tikz[scale=.1]{ \draw [ultra thick] (2,20)--(42,20)--(42,0)--(2,0)--(2,20); \draw [thick] (30,7)--(30,0); \draw [thick] (2,7)--(42,7); \node at (21,11){\textbf{22}}; \node at (35,4){\textbf{6}}; \node at (0,10){\text{a}}; \node at (22,22){\text{b}}; \node at (36,-2){\text{x}}; \node at (44,3){\text{y}}; }$

[gris]

Я, право, застеснялся обилием упоминаний в теме. Я должен извиниться перед ТС. В самом начале я, как это часто бывает, воспринял задачу как шутку. У меня не было ни капли сомнения, что ТС всё давно решил, а написал эту систему, которая так и не отображается до сих пор у меня, ради лёгкого тролления, ну и решил немного подыграть. Но в задаче действительно есть некоторые поучительные моменты. Мне понравилось рассуждение о сжатиях, геометрическая интерпретация второго корня. Прочие же рассуждения напоминают забаву "легко и просто доказать ВТФ, а также, что $2=3$".

Yadryara совершенно правильно заметил, что система уравнений может описывать и другую задачу, в которой появляется дополнительное условие. Можно попытаться придумать такие условия, из которых будет следовать ответ $8\times 11$, например.

[Yadryara]

gris в сообщении #1205046 писал(а):

Прочие же рассуждения напоминают забаву

Вроде бы ПР/P не место для забав. Вы про какие рассуждения?