Площади трёх треугольников

[gris]

ewert, отчитываюсь о проделанной работе:

$\{0.5a(b-x)=40;\quad 0.5b(a-y)=11;\quad 0.5xy=3\} \Longrightarrow$

$\{ax=80-ab;\quad ay=22-ab;\quad xy=6\} \Longrightarrow$

$\{(xy)(ab)=(80-ab)(22-ab);\quad xy=6\} \Longrightarrow$

$\{6ab=(80-ab)(22-ab)\} $

Признаюсь, что тут скобки не раскрывал и самого квадратного уравнения не получал. Хотя рассуждающим подбором вполне можно корни найти, презюмировав целочисленность оных. Вольфрамова Альфа помогает обойтись без нудных подсчётов.

svv, спасибо за картинку!
Интересно было бы поискать геометрическое решение, вообще без уравнений.

[kotenok gav]

gris
Я смог сам решить, не успев прочесть Ваше решение.

[Yadryara]

kotenok gav
Решение в студию, пожалуйста.

[kotenok gav]

Обозначения как у Gris'а.

$$ ab=80+ax $$

$$ ab=22+by $$

$$ a^2b^2=1760+22ax+80by+abxy $$

$$ S=ab $$

$$ S^2=1760+22(S-80)+80(S-22)+6S $$

$$ S^2-108S+1760=0 $$

$$ D=68^2 $$

$$ S=\frac{108\pm68}{2}\in\left\lbrace 20; 88\right\rbrace$$

Но S должно быть больше 80!
Значит, S равно 88.

[Yadryara]

ОК, $S=88$. Чему равны $a$ и $b$?

[kotenok gav]

По-моему, в задаче это не требовалось.

[Yadryara]

По-моему, тоже. Но найти $a$ и все остальные неизвестные можно.

[ewert]

Yadryara в сообщении #1204852 писал(а):

Но найти $a$ и все остальные неизвестные можно.

Нельзя. Вы как-то зациклились на целочисленности. Хотя по условию задачи она ни разу не предполагалась.

[Yadryara]

ewert в сообщении #1204856 писал(а):

Вы как-то зациклились на целочисленности.

Нет, не зациклился.

Если kotenok gav откажется, я приведу решение.

[ewert]

Yadryara в сообщении #1204861 писал(а):

я приведу решение.

Вряд ли. Целочисленное гадание на кофейной гуще трудно назвать решением.

[kotenok gav]

Yadryara в сообщении #1204861 писал(а):

Если kotenok gav откажется, я приведу решение.

Я попробую решить, но завтра, на свежую голову.

[gris]

Школьникам полезно научиться видеть преобразования, при которых условие инвариантно. Если заданы только площади, то это, например, упомянутое сжатие-растяжение. При этом длины отрезков меняются. Есть сложные задачи, в которых требуется рациональность (целочисленность) всех длин. Но тут не тот случай
А что значит, что нельзя привести решение? Можно привести параметрическое решение, лишь бы оно охватило все возможные случаи.

[ewert]

gris в сообщении #1204887 писал(а):

Можно привести параметрическое решение, лишь бы оно охватило все возможные случаи.

Угу, можно: $\begin{cases}b=\frac{88}a,\\a=a,\end{cases}$ где $a$ -- произвольный положительный параметр.

[Yadryara]

ewert в сообщении #1204868 писал(а):

Целочисленное гадание на кофейной гуще трудно назвать решением.

Ну зачем Вы так. Я же Вам решение ещё не показал. Повторяю, целочисленность ни при чём.

[ewert]

Yadryara в сообщении #1204890 писал(а):

Повторяю, целочисленность ни при чём.

Ну тогда можете не показывать -- я решение только что привёл.