Задача с параллельными прямыми

[Rusit8800]

Задача: Дан выпуклый многоугольник площади $9$. Его пересекают $10$ параллельных прямых на расстоянии $1$ друг от друга. Докажите, что сумма длин отрезков, высеченных многоугольников на этих прямых, не более десяти.

Она уже встречалась здесь. В процессе решения, я обнаружил, что искомая экстремальная конфигурация должна обладать следующим свойством: ее опорными прямыми являются "крайние" прямые $a$ и $a'$. Действительно, если найдется какой-то "торчащий кусок", то его всегда можно отрезать, преобразовать так, чтобы его можно было наложить так, чтобы он лежал внутри $a$ и $a'$, и чтобы он пересекал хотя бы одну из этих параллельных прямых(естественно, такое преобразование должно сохранить "выпуклость" исходной конфигурации). Отсюда следует, что конфигурация с "торчащими кусками" не является экстремальной, её можно не рассматривать. Далее возникли проблемы с поиском такой конфигурации. А все из-за того, что площади $9$ "недостаточно" (вот если бы была площадь $10$, было бы другое дело). У меня получились конфигурации, сумма высекаемых этими конфигурациями отрезков которых равна $9$: прямоугольник стороной $10/9$ и трапеция высотой $1$. Такие же конфигурации были предложены ТС той темы.

[svv]

Вы можете и не искать какую-то конкретную конфигурацию. Путь к решению лежит через оценки двух сумм (которые получаются из простых геометрических соображений).

[Rusit8800]

svv в сообщении #1204644 писал(а):

двух сумм

Можно поконкретнее(хотя бы немного)?

[svv]

На левой картинке голубая фигура — это выпуклый многоугольник (а почему без углов? — ну, считайте, что это миллион-угольник). Он высекает на десяти параллельных прямых (серые) десять отрезков (красные). Их длины обозначим $a_0, a_1, ..., a_9$.

На правой картинке мы натягиваем на все отрезки тугое резиновое колечко (зелёное). Чему равна площадь фигуры, окружённой резинкой?

[TOTAL]

Rusit8800 в сообщении #1204616 писал(а):

Задача: Дан выпуклый многоугольник площади $9$. Его пересекают $10$ параллельных прямых на расстоянии $1$ друг от друга. Докажите, что сумма длин отрезков, высеченных многоугольников на этих прямых, не более десяти.

На первой прямой высекли отрезок длиной $100$, а на остальных девяти прямых высекли отрезки длиной $0$.

[slavav]

Пришлось два раза применить оценку площади снизу через формулу трапеций. Одна оценка для всего набора, вторая для двух крайних прямых.

[ewert]

slavav в сообщении #1204795 писал(а):

Одна оценка для всего набора, вторая для двух крайних прямых.

Ровно так. Соответственно, и "экстремальная конфигурация" -- это трапеция.

[Rusit8800]

svv в сообщении #1204772 писал(а):

Чему равна площадь фигуры, окружённой резинкой?

Но она не может быть вычислена однозначно.

-- 30.03.2017, 15:32 --

Можно конечно вычислить сумму площадей 9 трапеций, но оценка будет не точной. Вот если бы эта резинка эти отрезки по ломаным линиям стягивала...

-- 30.03.2017, 15:38 --

Если делать оценку, то она получается такой:

$$9 \geqslant \frac{{{a_0} + {a_1}}}{2} \cdot 1 + \frac{{{a_1} + {a_2}}}{2} \cdot 1 + ... + \frac{{{a_8} + {a_9}}}{2} \cdot 1 = {a_1} + {a_2} + ... + {a_8} + \frac{{{a_0} + {a_9}}}{2}$$

Равенство достигается, если резинка стягивает фигуру по ломаным линиям

[ewert]

Rusit8800 в сообщении #1204851 писал(а):

Если делать оценку, то она получается такой:

$$9 \geqslant \frac{{{a_0} + {a_1}}}{2} \cdot 1 + \frac{{{a_1} + {a_2}}}{2} \cdot 1 + ... + \frac{{{a_8} + {a_9}}}{2} \cdot 1 = {a_1} + {a_2} + ... + {a_8} + \frac{{{a_0} + {a_9}}}{2}$$

Правильно. Но можно ведь оценить и площадь трапеции, основаниями которой являются два крайних отрезка.

[Rusit8800]

Отсюда

$${a_0} + 2({a_1} + {a_2} + ... + {a_8}) + {a_9} \leqslant 18$$

[ewert]

Rusit8800 в сообщении #1204855 писал(а):

Отсюда

$${a_0} + 2({a_1} + {a_2} + ... + {a_8}) + {a_9} \leqslant 18$$

А это уже ни к чему.

[Rusit8800]

$$\frac{{{a_0} + {a_9}}}{2} \cdot 10 \leqslant {a_1} + {a_2} + ... + {a_8} + \frac{{{a_0} + {a_9}}}{2} \leqslant 9$$

[ewert]

Rusit8800 в сообщении #1204858 писал(а):

$$\frac{{{a_0} + {a_9}}}{2} \cdot 10 \leqslant {a_1} + {a_2} + ... + {a_8} + \frac{{{a_0} + {a_9}}}{2} \leqslant 9$$

Откуда на десять-то? И первое из этих двух неравенств в цепочке опять же лишнее.

[Rusit8800]

Ой, $9$

[ewert]

Rusit8800 в сообщении #1204865 писал(а):

Ой, $9$

Ну а теперь осталось лишь скомбинировать два неравенства -- для суммы трапеций и для большой трапеции.