2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Геометрическая задачка
Сообщение19.11.2014, 15:38 


09/11/14
8
Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей: Дан выпуклый многоугольник площади 9. Его пересекают 10 параллельных прямых на расстоянии 1 друг от друга. Докажите, что сумма длин отрезков, высеченных многоугольников на этих прямых, не более десяти.
Были идеи как-то изменить сам многоугольник, чтобы отрезки как-нибудь зависели от площади, но решить так и не удалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задачка
Сообщение19.11.2014, 15:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Что значит "отрезки зависят от площади"? Вы оценки делать пробовали? Заключать части многоугольника в прямоугольники? Ил, наоборот, вписать в них трапеции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задачка
Сообщение19.11.2014, 16:10 


09/11/14
8
provincialka в сообщении #933369 писал(а):
Что значит "отрезки зависят от площади"? Вы оценки делать пробовали? Заключать части многоугольника в прямоугольники? Ил, наоборот, вписать в них трапеции?


Я пробовал заключать части многоугольника в прямоугольники со сторонами равными 1 и $d_i$, где $d_1$ - длина отрезка с номером $i$.
Но возникает проблема: прямоугольник с самой большое стороной может выходить за границы многоугольник, и не очень понятно как связать новую площадь со старой (что окажется в итоге больше, а что меньше).

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задачка
Сообщение19.11.2014, 16:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Поиск путей к решению можно начинать с построения контрпримеров.
Например, критично ли условие, что все прямые пересекают многоугольник? Да, так как если, например, только одна, то легко построить пример с отрезком любой длины.
Важно, что многоугольник выпуклый? Да, иначе можно к предыдущему примеру пристроить что-нибудь узенькое и длинненькое.
Обязаны ли все отрезки быть не больше единицы? Нет, треугольник подтверждает.
Становится понятным, что надо использовать при доказательстве, а что не надо.
Легко построить пример, когда достигается максимальная общая длина.
А почему прямых десять? При каких условиях задача будет совершенно аналогичной, если прямых будет сто или две (расстояние оставим прежним)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задачка
Сообщение19.11.2014, 16:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
lexai, подумайте, какую фигуру вам нужно построить: меньшую, чем многоугольник, или большую? Вписанную или описанную?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задачка
Сообщение19.11.2014, 17:29 


09/11/14
8
gris в сообщении #933387 писал(а):
Поиск путей к решению можно начинать с построения контрпримеров.
Например, критично ли условие, что все прямые пересекают многоугольник? Да, так как если, например, только одна, то легко построить пример с отрезком любой длины.
Важно, что многоугольник выпуклый? Да, иначе можно к предыдущему примеру пристроить что-нибудь узенькое и длинненькое.
Обязаны ли все отрезки быть не больше единицы? Нет, треугольник подтверждает.
Становится понятным, что надо использовать при доказательстве, а что не надо.
Легко построить пример, когда достигается максимальная общая длина.
А почему прямых десять? При каких условиях задача будет совершенно аналогичной, если прямых будет сто или две (расстояние оставим прежним)?


Максимальная общая длина достигается, если данный многоугольник - прямоугольник, со стороной 1, 2 прямые являются сторонами, остальные прямые параллельны им, тогда длина каждого отрезка равна 1.
Возможно, что для n прямых, площадь многоугольника должна равняться n-1.

-- 19.11.2014, 18:33 --

provincialka в сообщении #933389 писал(а):
lexai, подумайте, какую фигуру вам нужно построить: меньшую, чем многоугольник, или большую? Вписанную или описанную?


Я думаю, что требуется построить фигуру меньшей площади, причем её площадь должна выражаться через данные отрезки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задачка
Сообщение19.11.2014, 17:50 


21/08/13

784
А 10 потому, что расстояние между крайними линиями будет равно 9. Тогда можно начать с построения прямоугольника, две боковые грани которого параллельны заданным прямым, а длина двух других будет больше 9 на малую величину. Тогда и сумма отрезков на прямых будет меньше 10 на малую величину (уже другую). Затем попробовать пошевелить стороны прямоугольника. Если мы пошевелим стороны, параллельные внутренним прямым, то для сохранения площади придется сблизить две другие стороны прямоугольника и уменьшить сумму отрезков. А вот если мы пошевелим сторону, перпендикулярную внутренним линиям, тут уже надо проверить, как изменится сумма отрезков. Ну это уже пусть ТС проверит. Такие задачи молодым полезны, для тренировки мозгов. А тратить время, чтобы похвастаться, что и я умею школьные задачи решать как-то несолидно.
P.S. Частично это уже сказано в предыдущем сообщении (проснулся к вечеру народ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задачка
Сообщение19.11.2014, 21:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
provincialka в сообщении #933369 писал(а):
вписать в них трапеции?
Мне удалось оценить некую сумму, полученную из данных отрезков, она не больше 9. Осталось оценить "добавок" числом 1. А, может, их только в сумме можно оценить?

Метод, предложенный ratay, мне не нравится: всякие шевеления до добра не доведут, логика - она как-то надежнее.

-- 19.11.2014, 22:00 --

Все, решила! Две оценки, потом их сложила.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задачка
Сообщение20.11.2014, 14:18 


13/08/14
349
Рассмотрите
9 трапеций высотой 1 и
1 трапецию высотой 9.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическая задачка
Сообщение20.11.2014, 16:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Дальше давайте не подсказывать! Пусть ТС сам решает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group