Фейнмановский интеграл

[Котофеич]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Котофеич писал(а):

В рассматриваемом примере, замкнутое выражение для М[x(ω,T], в форме функционального интеграла имеет следующий вид

(5) М[x(ω,T,s]= ∫u ∫exp{-1/√s[∫[dx/dt-(-x^3+5x^2+t^5)]^2dt]Dx(t)du,
где интегрирование производится по всем траекториям x(t), удовлетворяющим граничным
условиям

(6) х(0)=c, x(T)=u.

Ну допустим, а интегрирование по $u$ обязательно? Может для начала без него? Кстати, какую роль играет $s$ во всей этой кухне? Можно найти то что нам нужно (амплитуда перехода) положив $s=1$. И самый главный вопрос как будем считать интеграл?

Интегрирование по $u$ не обязательно, параметр s можно выбрать произвольно. Просто метод у меня накатан для определенного класса задач, и мне
проще объяснить суть метода на готовых примерах, которые у меня имеются в наличии.
Попутно можно рассмотреть и другие задачи. Как считать интеграл я объясню сначала
на простом примере, а потом сформулирую общую теорему. Я продолжил на старом месте,
завтра допечатаю расчет для этого примера.

[Аурелиано Буэндиа]

Котофеич писал(а):

Таким образом переходим от классического детерминированного уравнения

(1) dx/dt=-x^3+5x^2+t^5,x(0)=с,
к уравнению Ланжевена.
Уравнение Ланжевена в данном случае имеет следующий вид

(2) dx(ω,t)/dt=-x(ω,t)^3+5x(ω,t)^2+t^5+s[dW(ω,t)/dt] ,x(ω,0)=с, 0<s<1,

Идея решения задачи (1) на основе метода функционального интегрирования, состоит в
следующем. Уравнение (1) обладает грубо говоря высокой степенью диссипативнсти и
можно показать, что при достаточно малых s величина среднеквадратичного отклонения

А что у вас стохостическое время совпадает с обычным временем t?

Котофеич писал(а):

(8) $ M[x(\omega,T,s)]^2<B(t,c)$,
где функция $ B(t,c)$ всегда может быть построена в явном виде, как решение
некоторого уже линейного дифференциального уравнения, коэффициенты которого, однозначно определены в зависимости от коэффициентов уравнения (1).
4. Для того чтобы применить оценку (8) для построения решения уравнения (1) используется
замена переменных
...
получим неравенство
(10) $M[u(\omega,T,s)]=M[x(\omega,T,s)-z]^2<A(t,c,z), s\to0$.
Таким образом задача сводится к построению решений трансцендентного уравнения
(11) $A(t,c,z(t))=0$.

Котофеич, Вы можете изложить идею метода полностью? Ну какой смысл в этих кусках?
Почему бы не взять и не рассмотреть один простой пример, пусть самый элементарный, но полностью.
Или дайте ссылку на книгу или статью, где он разбирается.

[Котофеич]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Котофеич писал(а):

Таким образом переходим от классического детерминированного уравнения

(1) dx/dt=-x^3+5x^2+t^5,x(0)=с,
к уравнению Ланжевена.
Уравнение Ланжевена в данном случае имеет следующий вид

(2) dx(ω,t)/dt=-x(ω,t)^3+5x(ω,t)^2+t^5+s[dW(ω,t)/dt] ,x(ω,0)=с, 0<s<1,

Идея решения задачи (1) на основе метода функционального интегрирования, состоит в
следующем. Уравнение (1) обладает грубо говоря высокой степенью диссипативнсти и
можно показать, что при достаточно малых s величина среднеквадратичного отклонения

А что у вас стохостическое время совпадает с обычным временем t?

Котофеич писал(а):

(8) $ M[x(\omega,T,s)]^2<B(t,c)$,
где функция $ B(t,c)$ всегда может быть построена в явном виде, как решение
некоторого уже линейного дифференциального уравнения, коэффициенты которого, однозначно определены в зависимости от коэффициентов уравнения (1).
4. Для того чтобы применить оценку (8) для построения решения уравнения (1) используется
замена переменных
...
получим неравенство
(10) $M[u(\omega,T,s)]=M[x(\omega,T,s)-z]^2<A(t,c,z), s\to0$.
Таким образом задача сводится к построению решений трансцендентного уравнения
(11) $A(t,c,z(t))=0$.

Котофеич, Вы можете изложить идею метода полностью? Ну какой смысл в этих кусках?
Почему бы не взять и не рассмотреть один простой пример, пусть самый элементарный, но полностью.
Или дайте ссылку на книгу или статью, где он разбирается.

Ну я по этому плану и действую. Просто график нарушился по техническим причинам.
Первый пример я надеюсь завтра закончить. Эти общие пояснения как раз к нему и
относятся.

[Аурелиано Буэндиа]

Котофеич писал(а):

Ну я по этому плану и действую. Просто график нарушился по техническим причинам.
Первый пример я надеюсь завтра закончить. Эти общие пояснения как раз к нему и
относятся.

Ок. Пусть это будет даже послезавтра.
Да, не забудьте вопрос о стохастическом времени.

Котофеич писал(а):

Я продолжил на старом месте,

Пример лучше приводить новым сообщением.

[Котофеич]

Вышеуказанный простой пример со всеми необходимыми формулами, рассмотрен здесь
http://www.geocities.com/jaykovf/CHAOS.pdf
формулы (2.7)-(2.10). В pdf функция A(t,z(t),c) обозначена буквой R(.,.,.).
То что Вы называете "стохастическое" время, называется еще Ланжевеновское время.
Ланжевеновское время в методе стохастического квантования (МСК) обычно фигурирует в двух видах-(а) как обычное физическое время, (б) как некий формальный параметр, который
необходимо устремить к бесконечности, чтобы получить средние для реальной физической
системы. В первом случае посредством МСК, квантуется стационарная не зависящая от
времени классическая система. В первом случае в результате применения МСК, получается статистическая динамика, например для точки, как в примере. Во втором случае посредством МСК, квантуется нестационарная зависящая от времени классическая система,
например модель Р(Ф(x,t)). Во втором варианте в результате применения МСК, получается некоторая модель евклидовой теории поля.
Особый случай составляют квантовая гравитация и квантовая космология в рамках МСК.
В этом случае ланжевеновское время может фигурировать в обоих своих формах, в зависимости от того какая космологическая модель принята-стандартная модель БВ или
холодный взрыв во всех временах одновременно.
Cуществует несколько видов стохастического квантования. Все эти виды различаются
типом обобщенного случайного процесса который используется в определении ланжевеновской силы. Классический метод был предложен Эдвардом Нелсоном. Наиболее
общий метод т.н. нелинейного стохастического квантования был предложен Мигдалом.