2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение27.03.2017, 19:44 


10/05/13
251
iou
Ого! Круто! Получается так:
$$
\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} ... = 1
$$
Так как остальные элементы самоуничтожатся.
А так можно делать? (перегруппировывать суммы)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение27.03.2017, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10078
Телескопический ряд

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение27.03.2017, 20:05 
Аватара пользователя


04/10/15
291
frankenstein, ответ верный, но не совсем понятно, что значит "остальные элементы самоуничтожатся", это ведь бесконечная сумма, мало ли, что там будет.. Проще воспользоваться определением и понять, что ответ действительно верный.
Если мы явно напишем частичную сумму $a_1+...+a_n=1-\dfrac{1}{n+1}$, то существует предел $$\lim\limits_{n \to \infty} \big(1-\dfrac{1}{n+1}\big)=1$$
Касательно
frankenstein в сообщении #1204059 писал(а):
А так можно делать? (перегруппировывать суммы)

Если говорить о перестановке слагаемых сходящегося ряда, то делать это можно далеко не всегда. В данном случае мы даже ничего не переставляли. В общем случае, если ряд сходится абсолютно, то слагаемые переставлять можно и сумма получится та же, если ряд сходится условно, то перестановкой слагаемых можно получить любую наперед заданную сумму. Но для любого ряда можно "немного переставить" слагаемые (то есть если новый номер члена ряда отличается от старого не более, чем на фиксированное число), сумма будет та же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение27.03.2017, 20:39 


10/05/13
251
iou
Да, лучше всегда взять конечное число $n$, а потом устремить его к $\infty$
Решаю дальше, так сейчас у меня такой ряд:
$$
\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + ... + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} + ...
$$
Попробую решить...

-- 27.03.2017, 22:53 --

Блин, да что же это такое :facepalm:, тут разложение на разность не помогает

-- 27.03.2017, 22:59 --

Не подсказывайте, я нашел решение, щас...

-- 27.03.2017, 23:05 --

Итак:
$$
S = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + ... + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} + ...
$$
$$
3S = \frac{3}{1 \cdot 4} + \frac{3}{4 \cdot 7} + ... + \frac{3}{(3n-2)(3n+1)} + ... = \frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{10} + ... + \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} + ... = 1
$$
$$
S = \frac{1}{3}
$$

-- 27.03.2017, 23:14 --

Решаю дальше - тригонометрия пошла. Итак, дано: $ |q| < 1 $
$$
q \sin \alpha + q^2 \sin 2 \alpha + ... + q^n \sin n \alpha + ...
$$
$$
q \cos \alpha + q^2 \cos 2 \alpha + ... + q^n \cos n \alpha + ...  
$$
Думаю, они тоже телескопические. Думаю использовать формулу синусов двойного и тройного угла, но это становится громоздким, как думаете это правильный путь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение27.03.2017, 22:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
frankenstein в сообщении #1204095 писал(а):
как думаете это правильный путь?
Думаю, что так правды не найти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение27.03.2017, 22:58 


25/08/11

1074
Тут Эйлера бы спросить...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение27.03.2017, 23:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18004
Москва
frankenstein в сообщении #1204095 писал(а):
Итак, дано: $ |q| < 1 $
$$
q \sin \alpha + q^2 \sin 2 \alpha + ... + q^n \sin n \alpha + ...
$$
$$
q \cos \alpha + q^2 \cos 2 \alpha + ... + q^n \cos n \alpha + ...  
$$
Думаю, они тоже телескопические.
Да, если домножить его на подходящее выражение, то получится. Только выражение не совсем простое. Для начала попробуйте домножить эти ряды на $\sin\frac{\alpha}2$, произведения преобразовать в разности и подумать, чего там не хватает для "телескопичности".

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение28.03.2017, 00:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18004
Москва
Нет, это я неправильно написал. Умножать нужно на $\cos\alpha$. Плюс ещё пара слагаемых. Оба ряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение28.03.2017, 10:26 


10/05/13
251
Получается так:
$$
q \sin \alpha \cos \alpha + q^2 \sin 2\alpha \cos \alpha + q^3 \sin 3\alpha \cos \alpha + ... + q^n \sin n\alpha \cos \alpha + ...
$$
Теперь осталось найти эти слагаемые...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение28.03.2017, 10:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18004
Москва
Я же писал:
Someone в сообщении #1204168 писал(а):
Для начала попробуйте домножить эти ряды на $\sin\frac{\alpha}2$, произведения преобразовать в разности и подумать, чего там не хватает для "телескопичности"
После умножения на $\cos\alpha$ получатся не разности, а суммы, но весь совет сохраняется. После преобразования попробуйте вычесть исходный ряд, на что-нибудь умноженный, чтобы члены посокращались.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение28.03.2017, 10:38 


10/05/13
251
Someone
Понял, сейчас попробую

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение28.03.2017, 22:04 


22/05/16
171
У меня вопрос по первому примеру. Представил его так $\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{i}{2^{i-1}}-\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{2^i}$. C правым понятно 1.Я пробовал $\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{i}{2^{i-1}}$ по $i$ дифференцировать, но ничего не получается. Там нужно предварительные преобразования сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение28.03.2017, 22:18 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
dima_1985 в сообщении #1204470 писал(а):
Я пробовал $\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{i}{2^{i-1}}$ по $i$ дифференцировать, но ничего не получается.

Потому что надо не первую сумму дифференцировать, а вторую. И не по "ай!", а по двойке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение28.03.2017, 22:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10078

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1204476 писал(а):
Потому что надо не первую сумму дифференцировать, а вторую. И не по "ай!", а по двойке.
Это как это?
$$\dfrac {\partial   \big( \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{2^{i}}\big)}{\partial \, 2}\ ?$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение28.03.2017, 22:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #1204482 писал(а):
$$\dfrac {\partial   \big( \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{2^{i}}\big)}{\partial \, 2}\ ?$$

Именно. Имеющий уши -- да увидит.


-- Вт мар 28, 2017 23:45:47 --

Да, кстати:

sergei1961 в сообщении #1204167 писал(а):
Тут Эйлера бы спросить...

К моменту рядов комплексные числа стандартно уже вообще-то есть. Та что и впрямь лучше бы обратиться к Эйлеру.

-- Ср мар 29, 2017 00:03:18 --

И ещё кстати:

Someone в сообщении #1204266 писал(а):
После преобразования попробуйте вычесть исходный ряд, на что-нибудь умноженный, чтобы члены посокращались.

Само по себе предложение, естественно, правильно; но вот реализовано, на мой вкус, не очень разумно. В левой части -- сама требуемая сумма, в правой -- выйдет она же, но в удвоенном варианте и с разными множителями типа $q$ в какой-то степени, плюс-минус лишние/дополнительные слагаемые. После наведения порядка получится тривиальное линейное уравнение для искомой суммы. И не надо ничего гадать с вычитанием.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 40 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Shadow


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group