Источник магнитного поля постоянного магнита

[Anton_Peplov]

amon в сообщении #1203019 писал(а):

Я бы ответил примерно так. Всякое магнитное поле, убывающее на бесконечности, я могу представить как поле некоторых токов. Это так же, как поле металлического шара вне шара можно заменить на поле точечного заряда, находящегося в центре шара. Дальше, производя математические манипуляции с этими, возможно фиктивными, токами, я получу вполне пристойную математическую теорию, описывающую магнитные материалы. Для постоянных магнитов кроме токов надо еще ввести, такую же возможно фиктивную, силу взаимодействия магнитного поля с материалом магнита. В такой теории появится некоторое количество констант, связанных с величиной этих токов и сил. Их я возьму из эксперимента, и полученная модель будет вполне соответствовать реальности.

То есть на постоянном магните четвертое уравнение Максвелла "ломается", и можно только подогнать под него эксперимент, введя фиктивные токи и фиктивные же магнитные проницаемости?

[Munin]

Нет, уравнение Максвелла не "ломается", просто записывается в квантовом случае сложней.

Это общий принцип: при переходе к более глубокой и общей теории, старые законы обычно не "ломаются", а усложняются, обрастают уточнениями, и могут математически разрастаться, увеличивать размерность.

[Anton_Peplov]

Ну, я примерно это и имел в виду. Ясное дело, что более глубокая теория включает уравнения менее глубокой как предельный случай.

[amon]

Anton_Peplov в сообщении #1203061 писал(а):

То есть на постоянном магните четвертое уравнение Максвелла "ломается", и можно только подогнать под него эксперимент, введя фиктивные токи и фиктивные же магнитные проницаемости?

Не ломается. Просто "молекулярные токи" $\mathbf{j}$ связываются с наблюдаемой величиной - намагниченностью $\mathbf{I}$ по стандартной формуле $\mathbf{j}=c\operatorname{rot}\mathbf{I},$ и в конечный ответ войдут наблюдаемые величины, как и положено, и магнитная проницаемость, которая в случае ферромагнетиков зависит от внешнего магнитного поля. Там есть другая трудность, связанная с тем, что как правило, намагнитится целиком в одном направлении магниту энергетически не выгодно, а выгодно разбиться на кусочки с разной по направлению намагниченностью (домены). Поэтому намагниченность начитнает зависеть еще и от формы тела (тела разной формы разбиваются на домены по-разному). От этого возникает и гистерезис.

[DimaM]

amon в сообщении #1203106 писал(а):

магнитная проницаемость, которая в случае ферромагнетиков зависит от внешнего магнитного поля

В ферромагнетиках, поскольку гистерезис и нелинейность, проницаемость имеет смысл только на участке околонулевого поля. Приходится честно ${\bf B}={\bf H}+4\pi{\bf M}$ ($M$ - намагниченность).
Постоянный магнит - одна из самых выдающихся иллюстраций неприменимости проницаемости (внутри него вообще $H$ и $B$ направлены противоположно).

[Anton_Peplov]

А вот еще вопрос.
В детском саду нас учили, что магнитные линии всегда замкнуты. Однако вижу в учебнике картинку, где магнитная линия, проходящая точно по оси соленоида, не замыкается, а тянется "из бесконечности в бесконечность". Где обман - в детском саду или на картинке?

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1203101 писал(а):

Ну, я примерно это и имел в виду.

Однако, если буквально ученикам произнести ваше

Anton_Peplov в сообщении #1203061 писал(а):

на постоянном магните четвертое уравнение Максвелла "ломается"

то 99 % поймут не то, что вы имели в виду, а нечто совсем противоположное. (И учеников, и учителей, которым рекомендовано это произносить.)

[DimaM]

Anton_Peplov в сообщении #1203117 писал(а):

В детском саду нас учили, что магнитные линии всегда замкнуты. Однако вижу в учебнике картинку, где магнитная линия, проходящая точно по оси соленоида, не замыкается, а тянется "из бесконечности в бесконечность". Где обман - в детском саду или на картинке?

Обман в детском саду. Замкнутые линии - редкость, возможная только при полной симметрии.
См. здесь (конец раздела 4.2).

[warlock66613]

Anton_Peplov в сообщении #1203117 писал(а):

тянется "из бесконечности в бесконечность"

Ну то есть является прямой, сиречь окружностью (бесконечного радиуса), т. е. замкнутой линией. В чём проблема?

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1203119 писал(а):

то 99 % поймут не то, что вы имели в виду, а нечто совсем противоположное. (И учеников, и учителей, которым рекомендовано это произносить.)

Согласен. Надо сначала поговорить о принципе соответствия, о том, что мы строим все более точные, но все более сложные модели, объясняющие опыт. Я в разговорах с детьми и гуманитариями люблю в качестве иллюстрации "лестницы моделей" приводить цепочку "Плоская Земля $\to$ Земля-шар $\to$ Земля-эллипсоид $\to$ Земля-геоид $\to$..."

[Munin]

Немножко методического ворчания.

Можно смотреть на задачу не как на физическую, а как на математическую. То есть, задано магнитное поле, и надо ткнуть пальцем, где находятся его источники. А потом уже задумываться об их физической природе.

Здесь надо сказать  несчастным школьникам , что магнитное поле описывается не одним векторным полем (то есть, функцией, заданной в пространстве, и в каждой точке пространства имеющей вектор), а двумя: $\mathbf{B}$ и $\mathbf{H}.$ От одного можно перейти к другому, так что в общем это несколько избыточно, но удобно для физики. В пустом пространстве они между собой совпадают (кроме как размерности, в шайтановой системе единиц СИ), а вот внутри постоянного магнита, или даже внутри диамагнетика или парамагнетика - расходятся.

Описываются они в магнитостатическом случае такими закономерностями:

$$\begin{aligned} \operatorname{div}\mathbf{B}&=0 & \operatorname{rot}\mathbf{B}&=\mu_0\mathbf{j}_\mathrm{m} \\ \operatorname{div}\mathbf{H}&=\rho_\mathrm{m} & \operatorname{rot}\mathbf{H}&=0 \end{aligned}$$

Отсюда видно, что источники этих полей (то, что стоит в правой части) расположены в постоянных магнитах по-разному:
- источники поля $\mathbf{B}$ представляют собой замкнутые связанные токи, которые текут по боковой поверхности постоянного магнита, превращая его в что-то вроде соленоида;
- источники поля $\mathbf{H}$ представляют собой фиктивные связанные "магнитные заряды", располагающиеся на поверхности полюсов постоянного магнита, превращая его в аналог электрического диполя.

Именно эти связанные токи могут иногда называть "токами Ампера".

-- 24.03.2017 15:21:16 --

Anton_Peplov в сообщении #1203117 писал(а):

В детском саду нас учили, что магнитные линии всегда замкнуты.

Вкратце, бывают такие варианты:
- магнитные линии замкнуты (бывает очень редко и при случайном совпадении, и то не в реальности, где всегда есть погрешность);
- магнитные линии уходят на бесконечность;
- магнитные линии завиваются в конечном пространстве, однако не замыкаясь, а продолжаясь без конца.

На самом деле, фраза для детей "магнитные линии всегда замкнуты" означает другое, локальное свойство магнитных линий: они нигде не начинаются и не обрываются. Если вы посмотрите на любой кусочек магнитной линии, он будет замкнут. Но не обязательно линия в целом.

А это локальное свойство означает вот что: $\operatorname{div}\mathbf{B}=0.$

-- 24.03.2017 15:22:48 --

Anton_Peplov в сообщении #1203123 писал(а):

Согласен. Надо сначала поговорить о принципе соответствия

Вот почему вы не хотите просто признать, что ваша фраза неудачная?

[Anton_Peplov]

DimaM в сообщении #1203120 писал(а):

Замкнутые линии - редкость, возможная только при полной симметрии. См. здесь (конец раздела 4.2).

Спасибо. Эх, сколько лапши на моих ушах...

warlock66613 в сообщении #1203122 писал(а):

Ну то есть является прямой, сиречь окружностью (бесконечного радиуса), т. е. замкнутой линией. В чём проблема?

Проблема в том, чтобы мыслить прямую как частный случай окружности. Это насилие над математикой (прямая и окружность не гомеоморфны) и насилие над (лично моей) интуицией.

-- 24.03.2017, 15:24 --

Munin в сообщении #1203124 писал(а):

Вот почему вы не хотите просто признать, что ваша фраза неудачная?

Эм. Мне казалось, что я это уже признал. Неудачная, конечно. Школьникам такую фразу говорить нельзя.

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1203125 писал(а):

Проблема в том, чтобы мыслить прямую как частный случай окружности. Это насилие над математикой (прямая и окружность не гомеоморфны) и насилие над (лично моей) интуицией.

Это как раз очень математическая идея, если рассматривать пространство пополненным бесконечно удалёнными точками. Например, проективное пространство.

Если у вас нет интуитивного воспринятия проективной геометрии, развивайте его. Часто пригождается.

И вообще, математическая идея причиснять какие-то особые случаи как частные вырожденные варианты общих случаев - тоже пригождается.

Например, вспомните школьные геометрические факты о треугольниках, и перепробуйте их формулировки для случая, когда все вершины лежат на одной прямой; когда две вершины совпадают; когда все три вершины совпадают. Вы обнаружите, что далеко не всё сразу "ломается", а кое-что хоть и "ломается", но приобретает некий аналог в вырожденном случае.

[warlock66613]

Anton_Peplov в сообщении #1203125 писал(а):

Это насилие над математикой (прямая и окружность не гомеоморфны) и насилие над (лично моей) интуицией.

Интуиция, по-хорошему, должна вам подсказать, что физически осмысленные результаты не должны зависеть от глобальной топологии пространства — поэтому можно считать, что пространство имеет (например) топологию тора очень большого объёма.

[Munin]

И чисто аналитически. Окружность имеет радиус, который локально является радиусом кривизны. Можно его устремить в бесконечность, а кривизну - $1/r$ - к нулю. В момент перехода через нуль ничего особенного не происходит.