лестница Кантора

[yafkin]

Munin в сообщении #1183343 писал(а):

Цепочка мощностей $\aleph_0,2^{\aleph_0}\equiv\mathfrak{c},2^{\mathfrak{c}},2^{2^{\mathfrak{c}}},\ldots$ образует бесконечную последовательность. Именно по доказательству Кантора ("лестница Кантора").

Внимание: эта цепочка по сути не совпадает с цепочкой $\aleph_0,\aleph_1,\aleph_2,\aleph_3,\ldots$ - в которой просто перечислены последовательные бесконечные мощности. То есть, может совпадать, а может и не совпадать. И это не какой-то неизвестный математический факт, а это решаем мы сами.

Очень интересное утверждение. Хотя бы ссылку дали , что почитать, а то, как я это решать буду, мне совершенно непонятно.

[Yodine]

Похоже надо гуглить что-то вроде ординалы, кардиналы. Множества одного порядкового числа равномощны, обратное верно не всегда, отсюда возникает произвол в решение. Могу ошибаться.

[yafkin]

Взаимно однозначное соответствие -обьективно.
И откуда мы можем придумать промежуточные мощности? чтобы оно (взаимно однозначное соответствие) или было или нет
по моей прихоти .
Наверно я что-то недопонимаю.

[Mikhail_K]

yafkin в сообщении #1201985 писал(а):

Взаимно однозначное соответствие -обьективно.

Возьмём кардинал $\aleph_1$ (он определяется как множество не более чем счётных ординалов, или как мощность этого множества) и возьмём континуум $\mathfrak{c}$ (определяемый как мощность $\mathbb{R}$ или как мощность булеана счётного множества).
И здесь такая штука.
Имеющимися математическими средствами невозможно ни построить взаимно-однозначное соответствие между $\aleph_1$ и $\mathfrak{c}$ (и тем самым доказать, что $\aleph_1=\mathfrak{c}$), ни построить множества промежуточной мощности между $\aleph_0$ и $\mathfrak{c}$ (и тем самым доказать, что $\mathfrak{c}>\aleph_1$).
И это доказано, что это невозможно.

Мы можем считать, что взаимно однозначное соответствие между $\aleph_1$ и $\mathfrak{c}$ существует, только оно настолько сложное, что нам его никогда не построить и не пощупать руками. Считая так, мы не рискуем прийти к противоречию.

Но также мы можем считать, что взаимно однозначного соответствия нет, а вместо него есть множества промежуточной мощности между $\aleph_0$ и $\mathfrak{c}$. Опять же, в этом случае эти множества настолько сложны, что мы их никогда не сможем построить имеющимися математическими средствами.

[yafkin]

Так этот факт большее основание для того, чтобы относится осторожно, чем что-то выбирать самому.

[Mikhail_K]

yafkin в сообщении #1202016 писал(а):

Так этот факт большее основание для того, чтобы относится осторожно, чем что-то выбирать самому.

Это зависит от философской позиции.
Можно считать, что в математике есть объективность: либо на самом деле $\aleph_1=\mathfrak{c}$, либо на самом деле $\aleph_1<\mathfrak{c}$ - хотя нам этого и не дано узнать. Тогда да, надо относиться осторожно.
Есть другая позиция - в математике объективности нет, поскольку и $\aleph_1$ и $\mathfrak{c}$ - не более чем наша выдумка, логическая конструкция. Тогда ничего не мешает "додумать" эту выдумку так, как хочется - но, конечно, так, чтобы конструкция оставалась логической, без противоречий.
На самом деле эти позиции никак не влияют на работу математика и даже не очень друг другу противоречат. Если даже я стою на первой позиции, мне может быть интересно узнать, а что было бы, если $\aleph_1=\mathfrak{c}$, а также что было бы, если $\aleph_1<\mathfrak{c}$.

Лично мне (чисто эстетически) ближе первая позиция, и я не стал бы говорить в устной речи, что "это решаем мы сами", какому кардиналу равен континуум.
Мне не кажется таким уж невероятным, что в будущем к аксиомам ZFC добавят новые аксиомы, выражающие новые способы построения множеств, востребованных в математике будущего. И с помощью этих аксиом мы сможем уже либо доказать гипотезу континуума, либо её опровергнуть.

Но на данный момент разница между "выбирать самим" и "проявлять осторожность" - по сути, чисто эстетическая.

[Someone]

Mikhail_K в сообщении #1202040 писал(а):

Это зависит от философской позиции.
Можно считать, что в математике есть объективность: либо на самом деле $\aleph_1=\mathfrak{c}$, либо на самом деле $\aleph_1<\mathfrak{c}$ - хотя нам этого и не дано узнать. Тогда да, надо относиться осторожно.

Когда-то давным давно я тоже думал, что математика изучает нечто такое, что "существует" само по себе, и поэтому объективно.

Однако со временем я понял, что это не так. Математика изучает логические конструкции, а они таковы, какими мы их придумали. Из-за требования логической непротиворечивости свойства логических конструкций не совсем произвольны, но определённый произвол всё-таки есть.

К. Гёдель построил модель теории множеств, в которой для любого бесконечного кардинала $\tau$ между $\tau$ и $2^{\tau}$ нет никаких кардиналов (так называемый конструктивный универсум). В частности, между $\aleph_0$ и $2^{\aleph_0}$ нет никаких кардиналов.
Позже Дж. П. Коэн построил модель, в которой, наоборот, между $\aleph_0$ и $2^{\aleph_0}$ есть промежуточные кардиналы.

Поэтому мы имеем полное право считать, что промежуточные кардиналы есть, и не меньшее право считать, что их нет, ибо для обоих предположений предъявлены ситуации, когда эти предположения истинны. Но, разумеется, мы должны строго следить, когда мы предполагаем одно, и когда мы предполагаем другое, иначе понаполучаем тьму противоречий. Поэтому математики, делая предположения, не вытекающие из принятых аксиом, всегда явно указывают эти предположения.

[Mikhail_K]

Someone в сообщении #1202052 писал(а):

Когда-то давным давно я тоже думал, что математика изучает нечто такое, что "существует" само по себе, и поэтому объективно.

Я не утверждаю, что математические объекты и теории объективны.
Тем не менее, они строятся - первоначально - на основе каких-то интуитивных представлений.
Где-то в соседней теме обсуждается аксиоматика Пеано и её нестандартные модели.
Я бы здесь подчеркнул, что нестандартные модели - это хорошо, но мы всегда знаем, какая модель стандартная.
Мы понимаем, какие числа "настоящие натуральные", а какие "ненастоящие натуральные".
Так же и с множествами. Можно обсуждать ZF без аксиомы выбора, но если декартово произведение бесконечного количества "множеств" может быть пусто, то это просто не множества, а что-то другое.
Безусловно, развитие теории влияет на наши интуитивные представления и иногда меняет их до неузнаваемости. Когда-то было немыслимо, что на отрезке и квадрате одинаково много точек, сейчас это даже как-то уже и не очень странно.
Но интуитивные представления всегда остаются.

Модели, хоть Коэна, хоть Гёделя - описывают "ненастоящие множества".
Как дело обстоит с "настоящими множествами", соответствующими нашему интуитивному представлению о множестве - непонятно.
Может быть, непонятно пока.
Этот вопрос может быть решён, если в число аксиом ZFC будут добавлены новые - но не такие, как гипотеза континуума или её отрицание - а естественные с точки зрения интуиции (хотя бы даже и не нашей, а интуиции математиков будущего) и реально полезные в разделах математики, более близких к реальности чем теория множеств.

[yafkin]

Понятно , но больше сказать нечего.

[warlock66613]

В теории множеств $\operatorname{ZF}+\operatorname{AD}(+\operatorname{DC}+\operatorname{AC}_{\omega})$ цепочка $\aleph_0,2^{\aleph_0}\equiv\mathfrak{c},2^{\mathfrak{c}},2^{2^{\mathfrak{c}}},\ldots$ вообще не имеет с цепочкой $\aleph_0,\aleph_1,\aleph_2,\aleph_3,\ldots$ ни одного общего элемента, кроме первого.

[Mikhail_K]

warlock66613 в сообщении #1202345 писал(а):

В теории множеств $ZF+AD(+DC+AC_{\omega})$ цепочка $\aleph_0,2^{\aleph_0}\equiv\mathfrak{c},2^{\mathfrak{c}},2^{2^{\mathfrak{c}}},\ldots$ вообще не имеет с цепочкой $\aleph_0,\aleph_1,\aleph_2,\aleph_3,\ldots$ ни одного общего элемента, кроме первого.

Признаюсь, что с этими аббревиатурами я не то что бы не знаком, но знаком плохо.
Но, конечно, здесь нет аксиомы выбора.
Иначе бы первая цепочка была частью второй обязательно.
Но, кажется, если нет аксиомы выбора, то не все мощности сравнимы? (Или AD всё же позволяет их сравнивать?)
И что тогда означает цепочка алефов (вторая)?

[warlock66613]

Mikhail_K в сообщении #1202369 писал(а):

Или AD всё же позволяет их сравнивать?

AD, наоборот, позволяет доказать, что существуют несравнимые мощности, и эти цепочки — конкретный пример такой ситуации.

Mikhail_K в сообщении #1202369 писал(а):

И что тогда означает цепочка алефов (вторая)

То же, что и в канторовской теории множеств: мощности ординалов (вполне упорядоченных множеств).

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1202369 писал(а):

что с этими аббревиатурами я не то что бы не знаком, но знаком плохо

На всякий случай названия: аксиома детерминированности, аксиома зависимого выбора, аксиома счётного выбора.

[kp9r4d]

Ну а как вы класс вполне упорядоченных множеств вполне упорядочите без аксиомы выбора?

[arseniiv]

(Оффтоп)

warlock66613 в сообщении #1202375 писал(а):

На всякий случай названия: аксиома детерминированности, аксиома зависимого выбора, аксиома счётного выбора.

Так у вас в формуле вместо плюсов в скобках должны быть знаки равенства, получается?

[warlock66613]

(Оффтоп)

arseniiv, какое же там равенство? Аксиома зависимого выбора независима от остального, аксиома детерминированности тоже.

-- 21.03.2017, 18:01 --

kp9r4d в сообщении #1202403 писал(а):

Ну а как вы класс вполне упорядоченных множеств вполне упорядочите без аксиомы выбора?

А зачем? Собственно, в аксиоматике Цермелло — Френкеля классов же вообще нет.