Уравнение ВТФ n=3

[arguments]

Требуется доказать,что уравнение
$a^3+b^3=c^3$ (1)
не имеет натуральных решений

Представим (1) в виде разности кубов
$c^3-a^3=p(c-a),p=c^2+ac+a^2$ (2)
из равносильных уравнений (1) и (2) следует:
$c^3+a^3=p(c-2ac)$ (3)
$(c^3-a^3)(c+a)=p(c-a)(c+a)=pc^2-pa^2$ (4)
$(c^3+a^3)(c^3-a^3)=(c^2-a^2)p(p-2ac)=pc^2-pa^2-2acp(c^2-a^2)$ (5)
(4) подставим в (5),получим:
$(c^3+a^3)(c^3-a^3)=(c^3-a^3)(c+a)-2ac(c^3-a^3)(c+a)$ (6)

Каждое натуральное решение уравнения (1),если такое имеется, будет являться одним из решений уравнения (6)
Разложим (6) на множители,тогда уравнение примет вид:
$(c^3-a^3)(c+a)(p-2ac-1+2ac)=0$ (7)

Равенство нулю произведения означает,что
$c^3-a^3=0, c=a$ (8)
либо $c+a=0, c=-a$ (9)
либо $p-1=0,c^2+ac+a^2=1$ (10)

Объединенное множество решений уравнений (8),(9),(10) будет являться решениями уравнения (6)

Среди всех решений уравнения (6) не найдется такого, при котором $a^3+b^3=c^3$ имело бы решения в натуральных числах

[Begemot82]

А доказательство где?

[12d3]

arguments в сообщении #1201545 писал(а):

из равносильных уравнений (1) и (2) следует:

Не следует. Проверьте арифметику.

[arguments]

Совершенно верно,в (3) нужно записать
$c^3+a^3= (c+a)(p-2ac)$
но это просто невнимательность, а (5) записано все верно

-- 18.03.2017, 19:57 --

Да,досадная ошибка,но это никак не повлияло на "главное" уравнение (6), так как там ее уже нет

[venco]

arguments в сообщении #1201570 писал(а):

а (5) записано все верно

нет

[arguments]

Спасибо, Вы правы.