2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение ВТФ n=3
Сообщение18.03.2017, 17:27 


18/03/17
27
Требуется доказать,что уравнение
$a^3+b^3=c^3$ (1)
не имеет натуральных решений

Представим (1) в виде разности кубов
$c^3-a^3=p(c-a),p=c^2+ac+a^2$ (2)
из равносильных уравнений (1) и (2) следует:
$c^3+a^3=p(c-2ac)$ (3)
$(c^3-a^3)(c+a)=p(c-a)(c+a)=pc^2-pa^2$ (4)
$(c^3+a^3)(c^3-a^3)=(c^2-a^2)p(p-2ac)=pc^2-pa^2-2acp(c^2-a^2)$ (5)
(4) подставим в (5),получим:
$(c^3+a^3)(c^3-a^3)=(c^3-a^3)(c+a)-2ac(c^3-a^3)(c+a)$ (6)

Каждое натуральное решение уравнения (1),если такое имеется, будет являться одним из решений уравнения (6)
Разложим (6) на множители,тогда уравнение примет вид:
$(c^3-a^3)(c+a)(p-2ac-1+2ac)=0$ (7)

Равенство нулю произведения означает,что
$c^3-a^3=0, c=a$ (8)
либо $c+a=0, c=-a$ (9)
либо $p-1=0,c^2+ac+a^2=1$ (10)

Объединенное множество решений уравнений (8),(9),(10) будет являться решениями уравнения (6)

Среди всех решений уравнения (6) не найдется такого, при котором $a^3+b^3=c^3$ имело бы решения в натуральных числах

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение ВТФ n=3
Сообщение18.03.2017, 17:38 


10/07/15
286
А доказательство где?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение ВТФ n=3
Сообщение18.03.2017, 18:05 
Заслуженный участник


04/03/09
831
arguments в сообщении #1201545 писал(а):
из равносильных уравнений (1) и (2) следует:

Не следует. Проверьте арифметику.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение ВТФ n=3
Сообщение18.03.2017, 18:25 


18/03/17
27
Совершенно верно,в (3) нужно записать
$c^3+a^3= (c+a)(p-2ac)$
но это просто невнимательность, а (5) записано все верно

-- 18.03.2017, 19:57 --

Да,досадная ошибка,но это никак не повлияло на "главное" уравнение (6), так как там ее уже нет

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение ВТФ n=3
Сообщение18.03.2017, 19:06 
Заслуженный участник


04/05/09
4433
arguments в сообщении #1201570 писал(а):
а (5) записано все верно
нет

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение ВТФ n=3
Сообщение18.03.2017, 20:03 


18/03/17
27
Спасибо, Вы правы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group