Летающий волчок

[Xey]

Dan B-Yallay в сообщении #1201037 писал(а):

Потенциал кольца в разрезе через центр:
.

Видимо это круг без отверстия, у кольца ямка глубже и на низких уровнях прорывается. Края становятся отвесными , но нет дна. Это прощупывается магнитиком на спичке.

Наверно в такой прорванной яме хорошо будет фиксироваться от раскачки вертикальный маятник не вращающегося магнита.

[Dan B-Yallay]

amon в сообщении #1201053 писал(а):

Проблема в том, можно ли это в принципе сделать. У меня, вроде, получилось, но при этом рухнула пара теорем.

Да, надо искать. Всё это кажется бесполезной возней, но для меня жутко интересно подойти к этим теоремам именно с вот такой стороны.
Так оно весьма хорошо закрепляется в мозгу. Выстраданно.

-- Чт мар 16, 2017 15:08:56 --

Xey в сообщении #1201056 писал(а):

Видимо это круг без отверстия, у кольца ямка глубже и на низких уровнях прорывается. Края становятся отвесными , но нет дна.

Так на рисунке же потенциал только кулоновских сил. Если еще гравитацию добавить, тогда да, провал ниже высоты $z= 1/\sqrt{2}$

[fred1996]

Еще раз обращаю ваше внимание.
Если вы рисуете эквипотенциальную поверхность с ямкой, эта ямка совсем не есть положение равновесия.
А означает то, что сила в ней направлена строго вертикально вниз. От бОльшего потенциала к мЕньшему.
Если бы у вас действительно где-то появился локальный минимум, это значит эквипотенциальная поверхность там выродилась в точку, потому что при движении от этой точки в любом направлении потенциал бы рос.

-- 16.03.2017, 14:27 --

amon в сообщении #1201053 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #1201051 писал(а):

Поместим на дно центральной "лунки" пробный заряд такой массы, чтобы кулоновские силы отталкивания компенсировали силы тяжести.

Проблема в том, можно ли это в принципе сделать. У меня, вроде, получилось, но при этом рухнула пара теорем. Поскольку теоремам веры больше, чем мне, то в этом месте есть проблема.

Если наложить на кулоновский потенциал гравитационный потенциал с требованием равенства нулю суммарной силы в центральной точке, гравитационный потенциал искривит всю картинку так, что эквипотенциальная поверхность вблизи точки равновесия превратится в 90 градусную коническую поверхность, так что внутри конуса потенциал возрастает и сверху и снизу, а по бокам убывает.

[Dmitriy40]

Dan B-Yallay в сообщении #1201051 писал(а):

Я попробовал нарисовать проекцию кулоновских сил на вертикальную ось для шестиугольника.

Да, визуально вроде бы похоже. Но вот вопрос: а куда направлены проекции на горизонтальную плоскость? Я то их рисовал, не получится ли что этот вот минимум вертикальной составляющей горизонтально неустойчив т.к. по горизонту силы будут выталкивать заряд от центра? Тут на картинке этого вроде бы не понять. Или это график не проекции на вертикаль, а какой-то поверхности и реальные силы всюду ей перпендикулярны? Тогда да, это было бы наглядно.
Ещё можно попробовать выкинуть половину зарядов и посмотреть что будет для случая треугольника ... Допускаю что кардинально не изменится, а ошибся я не так интерпретировав что вижу на своём графике горизонтального сечения (тем более что построить его красиво в WolframAlpha мне не удалось).

-- 17.03.2017, 01:57 --

Если что, то вот формулы, которыми пользовался, они аналогичны двухмерному случаю:
заряды в плосткости $x,y$ по координатам $q_1(-1,0), q_2(+1,0), q_3(0,+2)$ (так отображается удобнее на широком экране),
"расстояния" до зарядов: $r_1=(z^2+y^2+(x+1)^2)^{3/2}$, $r_2=(z^2+y^2+(x-1)^2)^{3/2}$, $r_3=(z^2+(y-2)^2+x^2)^{3/2}$,
проекции результирующей силы на горизонтальную плоскость: $f_x=\frac{x+1}{r_1}+\frac{x-1}{r_2}+\frac{x}{r_3}$, $f_y=\frac{y}{r_1}+\frac{y}{r_2}+\frac{y-2}{r_3}$.
Руками менял $z$ и смотрел на поле векторов ...

[amon]

fred1996 в сообщении #1201063 писал(а):

Если наложить на кулоновский потенциал гравитационный потенциал с требованием равенства нулю суммарной силы в центральной точке, гравитационный потенциал искривит всю картинку

А я наложил, и не искривило. Вы у меня ошибку нашли?

[fred1996]

amon в сообщении #1201068 писал(а):

fred1996 в сообщении #1201063 писал(а):

Если наложить на кулоновский потенциал гравитационный потенциал с требованием равенства нулю суммарной силы в центральной точке, гравитационный потенциал искривит всю картинку

А я наложил, и не искривило. Вы у меня ошибку нашли?

Цитата:

А вы у меня ошибку найдите. :)

Если у нас имеется точка локального экстремума, значит все первые производные равны нулю, а Лаплас при цилиндрической симметрии в цилиндрических координатах вырождается в
$\frac{\partial \partial^2U}{\partial r^2}=-\frac{\partial^2U}{\partial z^2}$

То есть вторые производные по радиусу и по вертикальному направлению совпадают. А при нулевых первых производных это дает локальный конус для эквипотенциальной поверхности.
Мне как-то проще оперировать более простыми формулами.
А ваши формулы - это дебри для изобретателей вечного двигателя. :).
Я в таки игры не играю. :)

[amon]

fred1996 в сообщении #1201070 писал(а):

симметрии в цилиндрических координатах вырождается в $\frac{\partial \partial^2U}{\partial r^2}=-\frac{\partial^2U}{\partial z^2}$

О! А мужики-то и не знают! Все с Бесселями мучаются!

[fred1996]

amon в сообщении #1201072 писал(а):

fred1996 в сообщении #1201070 писал(а):

симметрии в цилиндрических координатах вырождается в $\frac{\partial \partial^2U}{\partial r^2}=-\frac{\partial^2U}{\partial z^2}$

О! А мужики-то и не знают! Все с Бесселями мучаются!

Мужики просто не знают, что локально можно обойтись без Бесселей. Когда есть куча доп информации. Зачем вам Бессель, если мы работаем в точке локального экстремума?
Достаточно ряда Тэйлора до второго порядка.

[amon]

fred1996 в сообщении #1201073 писал(а):

Достаточно ряда Тэйлора до второго порядка.

Выведите.

[fred1996]

amon в сообщении #1201074 писал(а):

fred1996 в сообщении #1201073 писал(а):

Достаточно ряда Тэйлора до второго порядка.

Выведите.

У нас решение - аналитическая функция, которую можно разложить в ряд в любой достаточно хорошей окрестности. В нашем случае не рядом с кольцом.
Задача имеет предельно простую симметрию в циллиндрических координатах.
Да к тому же мы имеем локальный экстремум по радиальной компоненте и по оси $z$.
То есть помещая центр координат в нашу точку равновесия получаем выражение для потенциала в виде: $U = \alpha r^2 + \beta z^2$
Остается подставить это выражение в цилиндрический Лапласиан и приравнять нулю.
Получим $\beta = -\alpha$
Что дает нам поведение потенциала вблизи окрестности нашей точки.
Ну и требуемый конус, как результат.

И никаких Бесселей, которые суть глобальные решения для задач с цилиндрической симметрией.
Математика в локальных окрестностях всегда много проще.
По оси $z$. У нас получился минимум, по радиальной компоненте максимум, а результат - все то же потертое лапласово седло.

[wrest]

fred1996 в сообщении #1201063 писал(а):

Еще раз обращаю ваше внимание.
Если вы рисуете эквипотенциальную поверхность с ямкой, эта ямка совсем не есть положение равновесия.
А означает то, что сила в ней направлена строго вертикально вниз. От бОльшего потенциала к мЕньшему.
Если бы у вас действительно где-то появился локальный минимум, это значит эквипотенциальная поверхность там выродилась в точку, потому что при движении от этой точки в любом направлении потенциал бы рос.

Мне тоже кажется, что воспринимать картинку с ямкой буквально как твердую поверхность с ямкой в которую может скатиться шарик совершенно неправильно.

Секрет подвеса не в том, что Ирншоу не прав. И одиночный точечный заряд подвесить все равно не выйдет из действительно простых соображений бездивергентности участвующих в подвесе полей.

А вот какую-то систему механически связанных зарядов Ирншоу, Гаусс и Лаплас подвешивать как будто бы не запрещают, и именно в эту сторону надо смотреть и разбираться так ли это.

Dan B-Yallay в сообщении #1201057 писал(а):

Так на рисунке же потенциал только кулоновских сил. Если еще гравитацию добавить,

Гравитацию, если мы говорим например о Земле, для точечного заряда можно заменить на постоянное электрическое поле (например помещаем наше заряженное кольцо между обкладками плоскопараллельного конденсатора), так что картинка конкретной эквипотенциальной поверхности просто поднимется или опустится вдоль вертикальной оси, так что гравитация в случае точечного заряда никак не может помочь в подвесе.

Заманчивой конфигурацией кажется например два положительно заряженных соосных кольца и положительный заряд на оси между ними. Но мы знаем, что например внутри равномерно заряженной сферы поле ноль (и зона безразличного равновесия -- вся внутренняя часть такой сферы).

[Xey]

Примиряющее высказывание.

Цитата:

Р. Фейнман в своей Нобелевской лекции [13] отмечает: «...электродинамику можно построить... различными способами, – на основе дифференциальных уравнений Максвелла, (или) на основе различных принципов наименьшего действия с полями, и без полей... Самые фундаментальные законы физики после того, как они уже открыты, все-таки допускают такое невероятное многообразие формулировок, по первому впечатлению не эквивалентных, и всё же таких, что после определенных математических манипуляций между ними всегда удаётся найти взаимосвязь. Чем это можно объяснить, – остаётся загадкой. Думается, что здесь каким-то образом отражается простота природы. Может быть, вещь проста только тогда, когда её можно исчерпывающим образом охарактеризовать несколькими различными способами, ещё не зная, что на самом деле ты говоришь об одном и том же».

http://n-t.ru/tp/ns/ev.htm

-- Пт мар 17, 2017 13:07:17 --

wrest в сообщении #1201121 писал(а):

Мне тоже кажется, что воспринимать картинку с ямкой буквально как твердую поверхность с ямкой в которую может скатиться шарик совершенно неправильно.

А я это вижу своими глазами. Дротик с ниобиевым магнитом закреплен на конце медной проволоки . Проволока может упруго деформироваться, и дротик может перемещаться по высоте. Под дротиком по столу перемещаю магнит (кольцо , или любой другой). На краю магнита дротик поднимается , в середине приопускается , на втором краю приподнимается и за магнитом в низ.
У кольца ямка заметнее.
На некоторой высоте над магнитом , в центре магнита дротик приопускается, это факт .
(высоту прохождения дротика надо подбирать . Немного выше некоторой , и ямка не заметна, немного ниже, и в ямке дротик падает на магнит.

[amon]

fred1996 в сообщении #1201078 писал(а):

То есть помещая центр координат в нашу точку равновесия получаем выражение для потенциала в виде: $U = \alpha r^2 + \beta z^2$

Ага. А константы и перекрестная производная куда делись?

(Оффтоп)

Бают, что то ли в Швеции, то ли в Австралии когда-то на придорожных столбах были надписи о том, что столбы никогда не нападают первыми на проезжающие автомобили. Вы сами ошибку просили найти.

[Munin]

Xey в сообщении #1201125 писал(а):

Примиряющее высказывание.

Кого с кем?

amon в сообщении #1201145 писал(а):

Ага. А константы и перекрестная производная куда делись?

Цилиндрической симметрией прихлопнулись.

[Xey]

Оказалось, что у "ямки " странные свойства.
Подвес на горизонтальной проволоке жосткий вдоль проволоки, а в поперечных направлениях очень чувствителен к изменению силы.
Вначале я искал ямку перемещая магнит вдоль проволоки и не замечал горизонтальных смещений дротика. Сейчас попробовал перемещать магнит по столу поперек проволоки и увидел интересное:
Когда дротик находится в ямке, перемещение магнита (перемещение ямки ) приводит не только к подъему дротика , но и к его горизонтальному смещению . Однако, вместо ожидаемого смещения дротика в ту же сторону что и ямка , дротик движется навстречу ямке. Т.е. когда край ямки движется к дротику , дротик движется навстречу краю и приподнимаясь наползает на него.