Декартово произведение семейства множеств

[lituskirill]

Помогите разобраться в определении произведения семейства множеств.
Определение: Декартовым произведением $\prod\limits_{s\in S}{{{A}_{s}}}$ называется произведение семейства множеств ${{\left\{ {{A}_{s}} \right\}}_{s\in S}}$, т. е. множество всех функций $f$ из $S$ в $\bigcup\limits_{s\in S}{{{A}_{s}}}$, таких, что $f\left( s \right)\in {{A}_{s}}$ для любого $s\in S$.

Выше в книге было дано определение, что декартово произведение двух множеств есть упорядоченная пара $\left\{ \left\{ x \right\},\left\{ x,y \right\} \right\}$. Тогда, как я понимаю, произведение трёх множеств даёт уже множество кортежей, длина которых равна 3?

Вот пример того, как я понимаю описанное мною выше определение:
Пусть дано семейство множеств ${{\left\{ {{A}_{s}} \right\}}_{s\in S}}$ и $S=\left\{ 1,2,3 \right\}$. Тогда получается, что дано семейство, состоящее из трёх множеств $\left\{ {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right\}$. Пусть далее для определённости имеем: ${{A}_{1}}=\left\{ 1,2,3 \right\}$, ${{A}_{2}}=\left\{ 3,5,6 \right\}$, ${{A}_{3}}=\left( 7,8,9 \right)$. Тогда:
$\prod\limits_{s=1}^{3}{{{A}_{s}}}={{A}_{1}}\times {{A}_{2}}\times {{A}_{3}}=\left\{ \left\{ 1,3,7 \right\},\left\{ 1,3,8 \right\},\left\{ 1,3,9 \right\},\left\{ 1,5,7 \right\},\left\{ 1,5,8 \right\}, \right.$
$\left\{ 1,5,9 \right\},\left\{ 1,6,7 \right\},\left\{ 1,6,8 \right\},\left\{ 1,6,9 \right\},\left\{ 2,3,7 \right\},\left\{ 2,3,8 \right\},\left\{ 2,3,9 \right\},$
$\left\{ 2,5,7 \right\},\left\{ 2,5,8 \right\},\left\{ 2,5,9 \right\},\left\{ 2,6,7 \right\},\left\{ 2,6,8 \right\},\left\{ 2,6,9 \right\},\left\{ 3,3,7 \right\},\left\{ 3,3,8 \right\},\left\{ 3,3,9 \right\},$
$\left\{ 3,5,7 \right\},\left\{ 3,5,8 \right\},\left\{ 3,5,9 \right\},\left\{ 3,6,7 \right\},\left\{ 3,6,8 \right\},\left\{ 3,6,9 \right\} $

И вот теперь собственно затруднение: в определении говорится, что декартово произведение семейства есть множество функций $f$ из $S$ в $\bigcup\limits_{s\in S}{{{A}_{s}}}$, таких, что $f\left( s \right)\in {{A}_{s}}$ для любого $s\in S$.
В моём примере возьму $s=3$, тогда $f\left( 3 \right)\in {{A}_{3}}$. То есть получается, что $f\left( 3 \right)$ может принимать значения только $7$, $8$ или $9$. То есть такое множество функций, значение которых в точке 3 равно $7$, $8$ или $9$? Вот здесь у меня тупик. Почему значение функции вычисляется именно в точках $s\in S$, ведь это всего лишь индекс?
Если можно, то дайте альтернативное определение и пример, который его поясняет.

[Anton_Peplov]

lituskirill в сообщении #1201000 писал(а):

Выше в книге было дано определение, что декартово произведение двух множеств есть упорядоченная пара $\left\{ \left\{ x \right\},\left\{ x,y \right\} \right\}$.

Быть этого не может. Загляните в книжку еще раз и внимательно прочтите определение декартова произведения двух множеств. Воспроизведите точную цитату здесь.

[lituskirill]

Anton_Peplov в сообщении #1201002 писал(а):

lituskirill в сообщении #1201000 писал(а):

Выше в книге было дано определение, что декартово произведение двух множеств есть упорядоченная пара $\left\{ \left\{ x \right\},\left\{ x,y \right\} \right\}$.

Быть этого не может. Загляните в книжку еще раз и внимательно прочтите определение декартова произведения двух множеств. Воспроизведите точную цитату здесь.

Ой, ошибся, моя вина. Декартово произведение двух множеств - это множество упорядоченных пар

[Anton_Peplov]

lituskirill в сообщении #1201003 писал(а):

Декартово произведение двух множеств - это множество упорядоченных пар

Множество всех упорядоченных пар $(x, y)$ таких, что $x \in X, y \in Y$.
Упорядоченные пары, тройки и вообще $n$-ки принято обозначать круглыми или угловыми скобками, а не фигурными, чтобы отличать их от множеств.
Да, укажите, пожалуйста, книгу, которую Вы цитируете.

[lituskirill]

Anton_Peplov в сообщении #1201007 писал(а):

lituskirill в сообщении #1201003 писал(а):

Декартово произведение двух множеств - это множество упорядоченных пар

Множество всех упорядоченных пар $(x, y)$ таких, что $x \in X, y \in Y$.
Упорядоченные пары, тройки и вообще $n$-ки принято обозначать круглыми или угловыми скобками, а не фигурными, чтобы отличать их от множеств.
Да, укажите, пожалуйста, книгу, которую Вы цитируете.

Энгелькинг "Общая топология" (введение)

[arseniiv]

Функции из этого определения — это обобщения кортежей, посколько из упорядоченных пар вы построить сможете только конечные кортежи, и притом элементы у этих кортежей должны будут быть пронумерованы натуральными числами, а произвольное множество индексов не имеет какого-то «единственно правильного изоморфизма» в начальный отрезок натурального ряда, когда вообще имеет (оно ведь может быть несчётным). Потому мы берём в качестве «обобщённого кортежа» функцию, и его $s$-м элементом назначаем значение этой функции в $s$.

Теперь если взять целиком всё множество функций $S\to\bigcup\limits_{s\in S}A_s$, среди них будут лишние — у которых какой-нибудь $s$-й элемент не принадлежит $A_s$, а принадлежит какому-то другому множеству семейства (если только они все не совпадают). Мы такие не заказывали, вот и приходится добавлять ограничение.

Кроме упомянутой проблемы со скобками тут надо ещё заметить на всякий случай, что «старое» декартово произведение пары множеств, которое остаётся нужным для определения функций, и «новое» для любого семейства из двух множеств никогда не совпадут как множества. То есть, строго говоря, тройка $(1,2,3)\equiv((1,2),3)\equiv\{\{(1,2)\},\{(1,2),3\}\}$, входящая в $\{1\}\times\{2\}\times\{3\}$, не входит в $\prod_{i\in1..3} \{i\}$, а входит в него соответствующая ей функция с графиком $\{(1,1),(2,2),(3,3)\}$. Можно их отождествлять, когда семейство индексировано каким-то конечным линейно упорядоченным множеством, т. к. все по-настоящему нужные нам от декартова произведения вещи будут у них аналогичными.

[Brukvalub]

Декартово произведение индексированного набора множеств - множество всевозможных наборов элементов, взятых строго по одному из каждого индексированного множества, причем каждый взятый элемент должен нести информацию, из какого множества он был взят.
В случае конечного множества индексов указание, из какого множества был взят элемент набора определяется его местом в упорядоченном наборе элементов. Предложите свой вариант, как описАть такие наборы в случае, когда индексирующее множество бесконечно?

[Anton_Peplov]

Ух, сколько тут написали, пока я набирал свое сообщение. Ну да ладно, пусть оно будет. Кажется, среди всех наличных на данный момент оно самое рабоче-крестьянское.

Мы можем сказать, что произведение двух множеств есть множество упорядоченных пар, произведение трех множеств есть множество упорядоченных троек, и так далее. Все это верно. Но как мы определим произведение бесконечного семейства множеств? Очевидно, придется переработать определение, сделав его более абстрактным, но пригодным для бесконечных семейств. Эту задачу и решает Энгелькинг.
Нам нужно как-то обобщить понятия "первый элемент в $n$-ке", "второй элемент в $n$-ке" и т.д., чтобы определение годилось для бесконечного и даже несчетного случая. Пусть, например, $\rm{Children} = \{\text{мальчик, девочка}\}$, $\rm{Fruits} = \{\text{яблоко, апельсин}\}$. Множество $\rm{Children} \times \rm{Fruits}$ состоит из упорядоченных пар: $\text{(мальчик, яблоко), (мальчик, апельсин), (девочка, яблоко), (девочка, апельсин)}$. Рассмотрим упорядоченную пару $\text{(мальчик, яблоко)}$. Мы говорим, что "мальчик" элемент с номером 1, "яблоко" - элемент с номером 2. Т.е. мы задали функцию $f$, определенную на множестве $\{1, 2\}$, такую, что $f(1) = \text{мальчик}$, $f(2) = \text{яблоко}$. Если мы возьмем пару $\text{(мальчик, апельсин)}$, то мы задали другую функцию $g$, определенную на множестве $\{1, 2\}$, такую, что $g(1) = \text{мальчик}$, $g(2) = \text{апельсин}$. Четыре пары эквивалентны четырем функциям, определенным на множестве номеров $\{1, 2\}$. Хорошо, область определения у них общая, а вот что с областью значений? Оказывается, что и область значений можно сделать общей - множество $\rm{Children} \cup \rm{Fruits}$, но договориться, что для любой функции $\varphi$ из этих четырех $\varphi(1)$ всегда ребенок, а $\varphi(2)$ всегда фрукт. Это определение удобно тем, что функции запросто можно задавать и на бесконечных множествах, поэтому на случай бесконечного семейства множеств определение переносится дословно. Понятна мысль сия неглубокая?

Осталось сказать, что множество функций определенных на $\{1, 2\}$, конечно, не есть в строгом смысле множество упорядоченных пар. Функция порождает упорядоченную пару, но не является ею, у функции свое определение. Тем не менее, между функциями и упорядоченными парами есть очевидное взаимно однозначное соответствие. Энгелькинг сам говорит об этом на с. 20. Это взаимно однозначное соответствие и позволяет, допуская вольность речи, называть то и другое декартовым произведением.

Да, и Энгелькинг - это не учебник для начинающих. Для первого чтения, для знакомства с предметом надо выбирать что-нибудь подружелюбнее.

[lituskirill]

Anton_Peplov в сообщении #1201021 писал(а):

Да, и Энгелькинг - это не учебник для начинающих. Для первого чтения, для знакомства с предметом надо выбирать что-нибудь подружелюбнее.

Да, теперь всё ясно, спасибо большое. А что Вы посоветуете для начинающих из этой области?

[Anton_Peplov]

lituskirill в сообщении #1201022 писал(а):

А что Вы посоветуете для начинающих из этой области?

Из какой? Начала теории множеств или общая топология?

[lituskirill]

Anton_Peplov в сообщении #1201024 писал(а):

Из какой? Начала теории множеств или общая топология?

Ну так как возникли проблемы именно с теорией множеств (до самой топологии ещё даже не дошёл), то из этой области.

[Brukvalub]

По теории множеств: Архангельский Канторовская теория множеств, Верещагин Н.К., Шень А. - Начала теории множеств.

[Anton_Peplov]

По общей топологии мне очень нравится Виро, Иванов, Нецветаев, Харламов - Элементарная топология. Не скажу, что я прочел $100^{500}$ учебников общей топологии и, умудренный опытом, выбрал лучший, но мне нравится по нему учиться. А вообще пусть преподаватели советуют, им виднее.

[Brukvalub]

Книга от классика общей топологии: П.С. Александров Введение в теорию множеств и общую топологию. Неплохой учебник: Дж. Келли. Общая топология Прекрасный задачник: Архангельский А.В. Пономарев В.И. (1974) Основы общей топологии в задачах и упражнениях.