Заменить числа и получить целую сумму

[Ktina]

Замените числа $a_1, a_2,\dots , a_{99}$ числами 1, 2, 3, ... , 99, используя каждое ровно один раз, чтобы сумма

$$\dfrac{a_1}{a_2+a_3}+\dfrac{a_4}{a_5+a_6}+\dots +\dfrac{a_{97}}{a_{98}+a_{99}}$$

была целым числом.

Мне удалось получить только число 17, сейчас расскажу, каким образом...

Числа в знаменателях дробей заменяются парами чисел, дающих в сумме 99, а именно (1, 98), (2, 97), ..., (33, 66).
В числителях тогда будут стоять числа от 34 до 65, а также число 99, таким образом наша сумма принимает значение

$$\dfrac{34+35+\dots +65+99}{99}=17$$

1) Верно ли моё решение?
2) Можно ли получить целые числа, не равные 17? Если да, то какие именно, и сколько их всего?

Пожалуйста, помогите решить.
Зарангеш благодарю!

[Shadow]

Ktina в сообщении #1200924 писал(а):

1) Верно ли моё решение?

Да

Ktina в сообщении #1200924 писал(а):

Можно ли получить целые числа, не равные 17?

Да.

Ktina в сообщении #1200924 писал(а):

Если да, то какие именно, и сколько их всего?

Не знаю, но если воспользоватся вашим же алгоритмом - все знаменатели равны $q$, то сумма всех 66 чисел в знаменателях будет $33q$ и для числителей остется сумма $4950-33q$
Сумма дробей будет $\dfrac{4950}{q}-33$ Значит, $q$ может быть любой делитель $4950$ в интервале $[67;133]$
А именно $75,90,99,110$. Сумма дробей тогда будет $33,22,17,12$
Но это не единственный метод. Например первая $\dfrac{3}{2+1}$, а все остальные $\dfrac{a}{(a-1)+(a+1)}$ - тройками.
Или первая $\dfrac{99}{2+1}$, остальные аналогично.
Или, если хотим побольше $\dfrac{99}{1+2}+\dfrac{98}{3+4}+\dfrac{88}{5+6}+\dfrac{75}{7+8}+\dfrac{38}{9+10}$...остальные как выше тройками ...по $\dfrac 1 2$
Кто больше?

[Ktina]

Shadow
Большое спасибо!

-- 17.03.2017, 10:00 --

Shadow в сообщении #1200965 писал(а):

Кто больше?