fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Заменить числа и получить целую сумму
Сообщение16.03.2017, 15:38 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Замените числа $a_1, a_2,\dots , a_{99}$ числами 1, 2, 3, ... , 99, используя каждое ровно один раз, чтобы сумма
$$\dfrac{a_1}{a_2+a_3}+\dfrac{a_4}{a_5+a_6}+\dots +\dfrac{a_{97}}{a_{98}+a_{99}}$$
была целым числом.

Мне удалось получить только число 17, сейчас расскажу, каким образом...

Числа в знаменателях дробей заменяются парами чисел, дающих в сумме 99, а именно (1, 98), (2, 97), ..., (33, 66).
В числителях тогда будут стоять числа от 34 до 65, а также число 99, таким образом наша сумма принимает значение
$$\dfrac{34+35+\dots +65+99}{99}=17$$

1) Верно ли моё решение?
2) Можно ли получить целые числа, не равные 17? Если да, то какие именно, и сколько их всего?

Пожалуйста, помогите решить.
Зарангеш благодарю!

 Профиль  
                  
 
 Re: Заменить числа и получить целую сумму
Сообщение16.03.2017, 19:15 


26/08/11
2147
Ktina в сообщении #1200924 писал(а):
1) Верно ли моё решение?
Да
Ktina в сообщении #1200924 писал(а):
Можно ли получить целые числа, не равные 17?
Да.
Ktina в сообщении #1200924 писал(а):
Если да, то какие именно, и сколько их всего?
Не знаю, но если воспользоватся вашим же алгоритмом - все знаменатели равны $q$, то сумма всех 66 чисел в знаменателях будет $33q$ и для числителей остется сумма $4950-33q$
Сумма дробей будет $\dfrac{4950}{q}-33$ Значит, $q$ может быть любой делитель $4950$ в интервале $[67;133]$
А именно $75,90,99,110$. Сумма дробей тогда будет $33,22,17,12$
Но это не единственный метод. Например первая $\dfrac{3}{2+1}$, а все остальные $\dfrac{a}{(a-1)+(a+1)}$ - тройками.
Или первая $\dfrac{99}{2+1}$, остальные аналогично.
Или, если хотим побольше $\dfrac{99}{1+2}+\dfrac{98}{3+4}+\dfrac{88}{5+6}+\dfrac{75}{7+8}+\dfrac{38}{9+10}$...остальные как выше тройками ...по $\dfrac 1 2$
Кто больше? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Заменить числа и получить целую сумму
Сообщение17.03.2017, 10:00 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Shadow
Большое спасибо!

-- 17.03.2017, 10:00 --

Shadow в сообщении #1200965 писал(а):
Кто больше? :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group